Neka je P bilo koja točka na konici r = 12 / (3-sin x). Neka su F¹ i F² točke (0, 0 °) odnosno (3, 90 °). Pokažite da PF¹ i PF² = 9?

Odgovor:

#r = 12 / {3-sin theta} #

Od nas se traži da pokažemo # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #tj. # P # izbacuje elipsu s žarištima # F_1 # i # F_2. # Pogledajte dokaz u nastavku.

Obrazloženje:

Popravit ćemo ono što pretpostavljam da je tipografska pogreška i reći #P (r, theta) # zadovoljava

#r = 12 / {3-sin theta} #

Raspon sinusa je #pm 1 # tako zaključujemo # 4 le 6. le 6.

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = r #

U pravokutnim koordinatama, # P = (r cos theta, r sin theta) # i # F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r sin theta + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9 #

#r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | R-9 | #

# | PF_2 | = 9-r quad # jer već znamo # 4 le 6. le 6.

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 quad sqrt #