Koja je domena i raspon (2/3) ^ x - 9?

Odgovor:

Domena: # (- oo, oo) #

raspon: # (- 9, oo) #

Obrazloženje:

Prvo zapamtite to # (2/3) ^ x-9 # je dobro definirana za svaku stvarnu vrijednost od #x#, Dakle, domena je cijela # RR #tj. # (- oo, oo) #

Od #0 < 2/3 < 1#, funkcija # (2/3) ^ x # je eksponencijalno opadajuća funkcija koja uzima velike pozitivne vrijednosti kada #x# je velika i negativna i asimptotična na #0# za velike pozitivne vrijednosti #x#.

U graničnim zapisima možemo pisati:

#lim_ (x -> - oo) (2/3) ^ x = -oo #

#lim_ (x-> oo) (2/3) ^ x = 0 #

# (2/3) ^ x # je kontinuirano i strogo monotono opada, pa je njegov raspon # (0, oo) #.

Oduzeti #9# kako bi pronašli taj raspon # (2/3) ^ x # je # (- 9, oo) #.

Neka:

#y = (2/3) ^ x-9 #

Zatim:

# y + 9 = (2/3) ^ x #

Ako #y> -9 # tada možemo uzeti dnevnike s obje strane kako bismo pronašli:

#log (y + 9) = zapisnik ((2/3) ^ x) = x log (2/3) #

i zbog toga:

#x = zapisnik (y + 9) / zapisnik (2/3) #

Tako za sve #y u (-9, oo) # možemo pronaći odgovarajući #x# tako da:

# (2/3) ^ x-9 = y #

To potvrđuje da je raspon cijeli # (- 9, oo) #.

Neka je domena f (x) [-2,3], a raspon je [0,6]. Što je domena i raspon f (-x)?

Domena je interval [-3, 2]. Raspon je interval [0, 6]. Upravo tako, to nije funkcija, jer je njezina domena samo broj -2.3, dok je njezin raspon interval. No, pod pretpostavkom da je to samo tipografska pogreška, a stvarna domena je interval [-2, 3], to je kako slijedi: Neka je g (x) = f (-x). Budući da f zahtijeva da svoju neovisnu varijablu uzima samo u intervalu [-2, 3], -x (negativno x) mora biti unutar [-3, 2], što je domena od g. Budući da g dobiva svoju vrijednost kroz funkciju f, njezin raspon ostaje isti, bez obzira što koristimo kao nezavisnu varijablu.

Ako funkcija f (x) ima domenu od -2 <= x <= 8 i raspon od -4 <= y <= 6 i funkcija g (x) definirana je formulom g (x) = 5f ( 2x)) onda što su domena i raspon g?

Ispod. Koristite osnovne transformacije funkcija kako biste pronašli novu domenu i raspon. 5f (x) znači da je funkcija vertikalno rastegnuta za faktor pet. Stoga će novi raspon obuhvatiti interval koji je pet puta veći od izvornog. U slučaju f (2x), na funkciju se primjenjuje vodoravno rastezanje od faktora pola. Stoga su ekstremiteti domene prepolovljeni. Et voilà!

Ako je f (x) = 3x ^ 2 i g (x) = (x-9) / (x + 1), i x! = - 1, što bi f (g (x)) jednako? g (f (x))? f ^ 1 (x)? Što bi domena, raspon i nula za f (x) bili? Kakva bi bila domena, raspon i nula za g (x)?

F (g (x)) = 3 ((x-9) / (x + 1)) ^ 2 g (f (x)) = (3x ^ 2-9) / (3x ^ 2 + 1) f ^ - 1 (x) = root () (x / 3) D_f = {x u RR}, R_f = {f (x) u RR; f (x)> = 0} D_g = {x u RR; x! = - 1}, R_g = {g (x) u RR; g (x)! = 1}