Kako razlikovati f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) koristeći pravilo proizvoda?

Odgovor:

Prvo upotrijebite pravilo za proizvodnju

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #

Zatim upotrijebite linearnost izvedenica i definicije izvedenih funkcija kako biste dobili

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #

Obrazloženje:

Pravilo proizvoda uključuje uzimanje izvedenice funkcije koje su višestruke od dvije (ili više) funkcija, u obliku #F (x) = g (x) * H (x) *, Pravilo proizvoda je

# d / dx f (x) = (d / dx g (x)) * h (x) + g (x) * (d / dx h (x)) #.

Primjenjujući ga na našu funkciju,

#F (x) = (X-e ^ x) (+ cosx 2sinx) #

Imamo

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #.

Dodatno moramo koristiti linearnost derivacije, to jest

# d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * (d / dx f (x)) + b * (d / dx g (x)) #.

Primjenjujući to imamo

# d / dx f (x) = (d / dx (x) -d / dx (e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (xe ^ x) (d / dx (cosx) + 2 * d / dx (sinx)) *.

Moramo napraviti pojedinačne derivate ovih funkcija, koje koristimo

# d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} # # # # # # # # d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin x = cos x # # # # # # # # d / dx cos x = - sin x #.

Sada imamo

# d / dx f (x) = (1 * x ^ 0-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #.

# d / dx f (x) = (1-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #

U ovom trenutku smo samo malo uredni

# d / dx f (x) = (cosx + 2sinx) -e ^ x (cosx + 2sinx) + x (-sinx + 2 * cosx) + e ^ x (sinx-2cosx) #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-e ^ xcosx-2 e ^ xsinx-xsinx + 2xcosx + e ^ x sinx-2e ^ xcosx #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #