Dokazati da je skup snaga polje?

Odgovor:

Skup snaga je komutativni prsten pod prirodnim operacijama sjedinjenja i sjecišta, ali ne i polje pod tim operacijama, budući da mu nedostaju inverzni elementi.

Obrazloženje:

S obzirom na bilo koji skup # S #, razmislite o skupu snage # 2 ^ S # od # S #.

To je prirodno djelovanje sindikata # Uu # koja se ponaša kao zbrajanje, s identitetom # O / # i raskrižje # Nn # koja se ponaša kao umnožavanje s identitetom # S #.

Detaljnije:

• # 2 ^ S # je zatvoreno ispod # Uu #

  Ako #A, B u 2 ^ S # zatim #A uu B u 2 ^ S #

• Postoji identitet # O / u 2 ^ S # za # Uu #

  Ako #A u 2 ^ S # zatim #A uu O / = O / uu A = A #

• # Uu # je asocijativna

  Ako #A, B, C u 2 ^ S # zatim #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # Uu # je komutativan

  Ako #A, B u 2 ^ S # zatim #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # je zatvoreno ispod # Nn #

  Ako #A, B u 2 ^ S # zatim #A nn B u 2 ^ S #

• Postoji identitet #S u 2 ^ S # za # Nn #

  Ako #A u 2 ^ S # zatim #A nn S = S nn A = A #

• # Nn # je asocijativna

  Ako #A, B, C u 2 ^ S # zatim #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # Nn # je komutativan

  Ako #A, B u 2 ^ S # zatim #A nn B = B nn A #

• # Nn # je lijevo i desno distributivno # Uu #

  Ako #A, B u 2 ^ S # zatim #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  i # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Tako # 2 ^ S # zadovoljava sve aksiome potrebne za komutativni prsten s dodatkom # Uu # i množenje # Nn #.

Ako #S = O / # zatim # 2 ^ S # ima jedan element, naime # O / #, tako da ne posjeduje različite aditivne i multiplikativne identitete i stoga nije polje.

Inače to zapamtite # S # nema inverzno ispod # Uu # i # O / # nema inverzno ispod # Nn #, Tako # 2 ^ S # ne stvara polje zbog nedostatka inverznih elemenata.