Dokazati da R ^ n / R ^ m R ^ (n-m) kao skupine, gdje je n, m N, n m?

Odgovor:

# "Ovo je dobro pitanje - odgovor je vrijedan držanja pri ruci." #

# "Srećom, dokaz je vrlo jednostavan. Stvorit ćemo" # #

# "homomorfizam aditivnih skupina, a zatim primijeniti" #

# "Temeljna teorema o homomorfizmu". #

# "Prvo, oprez. U kvocijentu bilo kojeg algebarskog sustava," #.

# "skup denominatora je, naravno, podskup skupa brojnika." #

# "Međutim, ono što se traži da se prikaže, odnosi se na količnik" # #

# {RR ^ n} / {RR ^ m}. "Vektori u" R ^ n imaju duljinu "n", dok su vektori u "R ^ m" duljine "m. "Budući da su to različite duljine,

# "denominator", "R ^ m," ne može biti podskup brojnika, "RR ^ n. #

# "Stoga moramo ispraviti izjavu koja će se prikazati." #

# "(Imajte na umu da je slučaj u kojem je" n = m, "u kojem je duljina

# "vektori dvaju skupova su isti, ne moraju biti" #

# "obrađuje se odvojeno; ispravka koju ćemo napraviti, u onome što je" # #

# "za prikazivanje, automatski će uključiti ovaj slučaj.)" #

# "Evo kako napraviti ispravljenu izjavu." #

# "Let:" qquad {RR ^ m} = podskup vektora "R ^ n" definiran sa: "# #

# {RR ^ m}

# ({zagrljaj {0, …, 0} ^ {n - m}, zagrljaj {a_ {n - m + 1}, …, a_n} ^ {m}) | a_ {n - m + 1}, …, a_n u RR. (I)

# "Možemo misliti o vektorima u" {RR ^ m} kao o vektorima R ^ m #.

# "sa" (n - m) quad quad 0 "umetnut je sprijeda.

# "u suštini isti algebarski sustav. Točno, mi jasno" #.

# "have:" qquad {RR ^ m} ~ RR ^ m vježba, koristeći kartu: "# #

# qquad (šešir {RR ^ m}, +) rarr (RR ^ m, +); #

# qquad qquad quad (obrisati {0, …, 0} ^ {n - m}, obrisati {a_ {n - m + 1}, …, a_n} ^ {m }) () () () (a) (a_ {n - m + 1}, …, a_n} ^ {m}). #

# "S ispravnim podskupom" R ^ n "za korištenje, sada definirano,

# "prikazuje ispravljenu izjavu:" #

qquad qquad qquad kvadrata RR ^ n / šešir {RR ^ m} quad ~ ~ quad RR ^ {n - m}. qquad (II) # #

# "Dozvolite da ponovim da je posao ovdje zapravo jednostavan i" # #

# "jednostavan. Dugi vektori mogu se pojaviti" #

# "komplicirano - nije." #

# "Dakle, ovdje od vrha do dna, prikazali smo:" #

pi (vec {a} - vec {b}) pi (vec {a}) - pi (vec {b}). #

# "Dakle:" quad pi quad "je homorfizam aditivnih skupina:" # #

qquad qquad qquad qqad qquad quad quad (RR ^ n, +), (RR ^ {n - m}, +). (II) # # # # # # # # t

# "2) Dakle, odmah, od strane Fundamental" # #

q "Teorema homomorfizma:" #

qquad qquad qquad qquad qquad qrQ n / {ker (pi)} quad ~ quad Im (pi). (III) (#) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

# "Pokazat ćemo da:" qquad ker (pi) = {RR ^ m} quad "i" quad Im (pi) = RR ^ {n-m}; #

# "koji će odrediti željeni rezultat." #

# "a) Neka:" qquad vec {z} u RR ^ n qquad "i" qquad vec {z} u ker (pi). #

#. t qquad vec {z} u RR ^ n quad hArr #

# wquad qqad qquad quad "vec {z} = (zaboravi {z_1, {nm +1}, …,

qquad qquad qquad qquad qquad qquad "za neke" quad z_1, z_2, …, z_n u RR. #

#. t quad vec {z} u ker (pi) quad hArr #

# pi ((ovise {z_1, z_2, …, z_ {nm}} ^ {n - m}, oslikavanje {z_ {nm +1}, …, t ^ {m})) (brisanje {0, 0, …, 0} ^ {n - m}). #

# qquad qquad "nastavak i upotreba definicije karte" pi t

#, qquad qquad qquad "npr., izbrišite posljednje" "unose, imamo:" # #

(zagrljaj {z_1, z_2, …, z_ {n-m}} ^ {n - m}) = (zagrljaj {0, 0, …, 0} ^ {n - m}). #

# "Dakle, imamo:" #

# qquad qwad qwad qquad qquad quad z_1 = 0, z_2 = 0, …, z_ {n-m} = 0 #.

# "Sada stavimo ove informacije natrag u" {z}: "#

# wquad qqad qquad quad "vec {z} = (zaboravi {z_1, z_2, …, z_ {nm}} ^ {n - m}, obrisati {z_1} t {nm +1}, …,

"briljantno {0, 0, …, 0} ^ {n - m}, precrtavanje {z_ {nm +1} t, …, z_n} ^ {m}).

# "Sada, podsjećajući na definiciju skupa:" quad {RR ^ m}, "u (I) iznad" #.

# "imamo:" #

# {qqad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad w {z} u {RR ^ m}. #

# "Dakle, odozgo prema dolje u ovom dijelu, imamo:" #

qquad qquad qquad qquad qquad vec {z} u ker (pi) quad hArr quad vec {z} u {RR ^ m}. #

# "Dakle, imamo:" #

(pi) = {RR ^ m} (pi) = {RR ~ m}. #

# "I sada kada smo pronašli" (pi), "mi ga zamjenimo natrag" #

# "u rezultat temeljnog homomorfizma" #

# "Teorem koji smo imali u (III) ovdje. Dobivamo:" #

# qquad qquad qquad quadRR ^ n / {RR ^ m} quad ~ quad Im (pi). kvadrata (IV) #

# "Ovo je sada mnogo bliže željenom rezultatu. Gotovo smo" # #

# "učinjeno. Sada ćemo pronaći" Im (pi). "Ovo će biti lako." #

# "b) Neka:" qquad vec {t} u RR ^ {n- m}. #

# "Pa onda:" #

# qwad vec {t} = zagreb (t_1, _2, …, t_ {nm}} ^ {n - m}), qquad "za neke" quad t_1, _2, … u RR. #

# "Sada neka:" qquad vec {T} u RR ^ n, quad "gdje definiramo" {{}} kako slijedi: #

qwad qquad qquad qwad qwad {T} = (zagrljaj {t_1, _2, …, t_ {nm}} ^ {n - m}, precrtati {1, …, 1} ^ {m}). #

# "Dakle, imamo:" #

#. t qquad vec {T} u RR ^ n; #

#. t pi (vec {T}) = pi ((omamiti {t_1, _2, …, t_ {nm}} ^ {n - m}, obrisati {1,…, 1} ^ {m})) #

pi ((omamiti {t_1, _2, …, t_ {nm}} ^ {n - m}, obrisati {t_1, t 1, …, 1} ^ {"izbrisati"})) #

obrisati {t_1, _2, …, t_ {n-m}} ^ {n - m}) #

# wquad qquad qquad qquad "en {t}, qquad qquad" po definiciji "en {t}" iznad ovdje. " #

# "Dakle, iz gore navedenog, imamo:" #

quad vec {t} pi (vec {T}) qquad "i" qquad vec {T} u RR ^ n. #

# "Dakle, po definiciji slike karte:" #

qqad qquad qquad qquad quad vec {t} u Im (pi). #

# "As" {{}} "je uzeto proizvoljno u" RR ^ {n- m}, "imamo:" # #

R ^ {n- m} sube Im (pi). #

# "Ali budući da" pi "mapira u" R ^ {n- m} po definiciji slike "#"

# "karta, imamo:" #

Im (pi) sučelim se s RR ^ {n- m}. #

# "Dakle, sada imamo:" #

# qquad qquad quad quad Im (pi) sučelimo se s RR ^ {n-m} qquad "i" q RRd {n-m} sube Im (pi). #

# "Tako:" #

Im (pi) = RR ^ {n- m}. #

# "Sada kada znamo" Im (pi), "ovo možemo zamijeniti natrag u" # #

# "naš srednji, i glavni, rezultat u (IV). Dobivamo:" #

quad qquad qquad qquad quad quad RR ^ {n- m}. #

# "Ovo je naš željeni rezultat!" kvadrata kvadrata qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad