Kako ste pronašli predstavljanje energetskih serija za (arctan (x)) / (x) i koji je radijus konvergencije?

Odgovor:

Integrirajte seriju snaga izvedenice od #arctan (x) * zatim podijelite s #x#.

Obrazloženje:

Poznato nam je predstavljanje snage serije # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # tako da #absx <1 #, Tako # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Tako je niz snaga #arctan (x) * je #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Podijelite ga #x#, vi otkrijete da je moćan niz #arctan (x) / x # je #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #, Recimo #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Da bismo pronašli radijus konvergencije ovih serija moći, ocjenjujemo #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #, Dakle, ako želimo da se energetski nizi konvergiraju, trebamo #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, tako da će se serija konvergirati ako #absx <1 #, što ne čudi jer je radijus konvergencije predstavljanja energetskih serija #arctan (x) *.