Koji je radijus konvergencije za ove energetske serije? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Odgovor:

#abs z <1 #

Obrazloženje:

# d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = sum_ (k = 0) ^ oo (1) ^ kz ^ k #

ali

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1) #, Sada razmišljam #abs z <1 # imamo

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = 1 / (1 + z) # i

#int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) #

sada izvršava zamjenu #Z -> - z # imamo

# -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z) #

tako da je konvergentan za #abs z <1 #

Kako koristiti Integralni test za određivanje konvergencije ili divergencije serije: sum n e ^ -n od n = 1 do beskonačnosti?

Uzmite integralni int_1 ^ ooxe ^ -xdx, koji je konačan, i imajte na umu da on graniči sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Stoga je konvergentan, tako da je i sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n). Formalna izjava integralnog testa kaže da ako fin [0, oo) rightarrowRR monotono smanjuje funkciju koja je ne-negativna. Tada je zbroj suma (n = 0) ^ oof (n) konvergentan ako i samo ako je "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx konačan. (Tau, Terence. Analiza I, drugo izdanje. Agencija Hindustan knjiga. 2009). Ova izjava može se činiti malo tehničkom, ali ideja je sljedeća. Uzimajući u ovom slučaju funkciju f (x) = xe ^ (- x), napominje

Zašto energetske razine u atomu imaju negativne energetske vrijednosti?

Mogu vam dati studentsku verziju koju sam dobio dok sam proučavao atom vodika; U osnovi, elektron je vezan za atom i da ga oslobodi od atoma morate "dati" energiju atomu sve dok elektron ne dosegne razinu nulte energije. U ovom trenutku elektron nije niti slobodan ni vezan (to je u nekoj vrsti "limba"!). Ako dajete malo energije, elektron ga dobiva (tako da sada ima "pozitivnu" energiju) i odleti! Dakle, kada je bila vezana, imala je "negativnu" energiju, ali kad ste je nulirali (dajući energiju) ona se oslobodila. Vjerojatno je to "pojednostavljeno" objašnjenje ... ali mis

Kako ste pronašli predstavljanje energetskih serija za (arctan (x)) / (x) i koji je radijus konvergencije?

Integrirajte seriju snaga izvedenice arctan (x), a zatim podijelite s x. Poznato nam je predstavljanje snage 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx, tako da je absx <1. Dakle 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n). Tako je serija snaga arctana (x) intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1).Ako ga podijelimo s x, otkrijemo da je snaga arctana (x) / x sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n). Recimo da je u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) Da bismo pronašli radijus konvergencije ovih serija, procjenjujemo lim_ (n -> + oo) abs ((u_) (n + 1)) / u_n. (