Dva ugla jednakostraničnog trokuta nalaze se u (8, 3) i (5, 4). Ako je područje trokuta 4, koje su duljine stranica trokuta?

Odgovor:

Dužine stranica su #sqrt 10, sqrt 10, sqrt 8 # i točke su # (8,3), (5,4) i (6,1) #

Obrazloženje:

Neka točke trokuta budu # (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3).

Površina trokuta je A = # ((x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2)) / 2) #

dan # A = 4, (x_1, y_1) = (8,3), (x_2, y_2) = (5,4) #

Zamjenom imamo sljedeću jednadžbu područja:

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3 - 3) + x_3 (3 - 4)) / 2) = 4

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3 - 3) + x_3 (3 - 4)) = 8 #

# (32 - 8y_3) + (5y_3 - 15) + (-1x_3) = 8 #

# 17 - 3y_3 -x_3 = 8 #

# - 3y_3 -x_3 = (8-17) #

# - 3y_3 -x_3 = -9 #

# 3y_3 + x_3 = 9 # ----> Jednadžba 1

Udaljenost između točaka #(8,3), (5,4)# pomoću formule udaljenosti je

#sqrt ((8-5) ^ 2 + (3-4) ^ 2) # = #sqrt (3 ^ 2 + (- 1) ^ 2) # = #sqrt 10 #

Udaljenost između točaka # (x_3, y_3), (5,4) # pomoću formule udaljenosti je

#sqrt ((x_3 -5) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2) # = #sqrt 10 #

Kvadriranje obje strane i zamjena # x_3 = 9 - 3y_3 # iz jednadžbe 1 dobivamo kvadratnu jednadžbu.

# (9-3y_3 - 5) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2 = 0 #

# (4-3y_3) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2 = 0 #

Faktorizirajući ovo, dobivamo # (y-1) (10y-22) = 0 #

y = 1 ili y = 2.2. y = 2,2 se može odbaciti. Dakle, treća točka mora biti (6,1).

Izračunavanjem udaljenosti za bodove # (8,3), (5,4) i (6,1) #, dobivamo # sqrt 8 # za duljinu baze.