Dva ugla jednakostraničnog trokuta nalaze se u (8, 1) i (1, 7). Ako je područje trokuta 15, koje su duljine stranica trokuta?

Dva ugla jednakostraničnog trokuta nalaze se u (8, 1) i (1, 7). Ako je područje trokuta 15, koje su duljine stranica trokuta?
Anonim

Odgovor:

Dvije mogućnosti: (I) #sqrt (85), sqrt (2165/68), sqrt (2165/68) ~ = 9.220,5.643,5.643 # ili (II) #sqrt (170-10sqrt (253)), sqrt (85), sqrt (85) '3.308,9.220,9.220 #

Obrazloženje:

Duljina dane strane je

# e = sqrt ((1-8) ^ 2 + (7-1) ^ 2) = sqrt (49 + 36) = sqrt (85) ~ = 9,220 #

Iz formule područja trokuta:

# S = (b * h) / 2 # => # 15 = (sqrt (85) * h) / 2 # => # H = 30 / sqrt (85) ~ = 3,254 #

Budući da je lik jednakokračan trokut možemo imati Slučaj 1, gdje je baza jednina, ilustrirana slikom (a) ispod

Ili smo mogli Slučaj 2 gdje je baza jedna od jednakih strana, ilustrirana sl. (b) i (c) u nastavku

Za ovaj problem slučaj 1 uvijek vrijedi, jer:

#tan (a / 2) = (a / 2) / h # => # H = (1/2) a / tan (a / 2) *

Ali postoji uvjet tako da slučaj 2 ispunjava:

#sin (beta) = H / b # => # h = bsin beta #

Ili # h = bsin gamma #

Od najveće vrijednosti #sin beta # ili #sin gamma # je #1#, najviša vrijednost # # H, u slučaju 2, mora biti # B #.

U ovom problemu h je manja od strane na koju je okomita, pa je za ovaj problem osim slučaja 1, također slučaj 2 vrijedi.

Razmatranje rješenja Slučaj 1 (Slika (a)), # A = sqrt (85) *

# B ^ 2-h ^ 2 + (a / 2) ^ 2 #

# B ^ 2 = (30 / sqrt (85)) ^ 2+ (sqrt (85) / 2) ^ 2 #

# B ^ 2 = 900/85 + 85/4 = 180/17 + 85/4 = (720 + 1445) / 68 = 2165/68 # => # b = sqrt (2165/68) ~ = 5,643 #

Razmatranje rješenja Slučaj 2 (oblik na slici (b)), # B = sqrt (85) *

# B ^ 2-m ^ 2 + H ^ 2 #

# M ^ 2-b ^ 2-h ^ 2 = (sqrt (85)) ^ 2- (30 / sqrt (85)) ^ 2 = 85-900 / 85 = 85-180 / 17 = (1445-180) / 17 # => # M = sqrt (1265-1217) #

# M + n = b # => # N = b-m # => # N = sqrt (85) -sqrt (1265-1217) #

# A ^ 2 = h ^ 2 + n ^ 2 = (30 / sqrt (85)) ^ 2+ (sqrt (85) -sqrt (1265/17)) ^ 2 #

# A ^ 2 = 900/85 + 85 + 1265 / 17-2sqrt ((85 * 1265) / 17) #

# A ^ 2 = 180/17 + 85 + 1265 / 17-2 * sqrt (5 x 1265) #

# A ^ 2 = 1445/17 + 85-2 * 5sqrt (253) #

# A ^ 2 = 85 + 85-10sqrt (253) #

# A = sqrt (170-10sqrt (253)) ~ = 3.308 #