Što je int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Odgovor:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Obrazloženje:

Ovo objašnjenje je malo dugačko, ali nisam mogao pronaći brži način da to učinim …

Integral je linearna aplikacija, tako da već možete podijeliti funkciju pod integralnim znakom.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

Prva dva pojma su polinomne funkcije, tako da ih je lako integrirati. Pokazat ću vam kako se to radi # X ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # tako # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #, Isto vrijedi i za tebe # X ^ 3 #, rezultat je #255/4#.

Nalaz #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # je malo duga i komplicirana. Prvo umnožite frakciju za #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # i onda promijenite varijablu: recimo #u = sqrt (x-1) #, Tako # Du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # i sada morate pronaći # 2u ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #, Da biste ga pronašli, potrebna je djelomična dekompozicija racionalne funkcije # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 + 1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # s # a, b, c, d u RR #, Nakon računice to otkrijemo # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 + 1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, što znači da # 2u ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (z ^ 2 + 1) ^ 2 # je dobro poznat, to je #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Konačno, # 2u ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) *

Vi zamjenjujete # U # izvornim izrazom s #x# imati #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, koji je #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Tako konačno, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #