Zašto je kvadratni korijen od 5 iracionalan broj?

Odgovor:

Pogledajte objašnjenje …

Obrazloženje:

Evo skice dokaza po kontradikciji:

pretpostaviti #sqrt (5) = p / q # za neke pozitivne integers # P # i # # Q.

Bez gubitka općenitosti, to možemo pretpostaviti #p, q # su najmanji takvi brojevi.

Zatim po definiciji:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Pomnožite oba kraja do # Q ^ 2 # dobiti:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Tako # P ^ 2 # je djeljiv s #5#.

Onda od tada #5# je premijera, # P # mora biti djeljiv s #5# isto.

Tako #p = 5m # za neki pozitivni cijeli broj # M #.

Dakle, imamo:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Podijelite oba kraja do #5# dobiti:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Podijelite oba kraja do # M ^ 2 # dobiti:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Tako #sqrt (5) = q / m #

Sada #p> q> m #, Dakle #q, m # je manji par cijelih brojeva čiji je kvocijent #sqrt (5) *, suprotno našoj hipotezi.

Dakle, naša hipoteza #sqrt (5) * može biti predstavljen # P / q # za neke cijele brojeve # P # i # # Q je lažno. To je, #sqrt (5) * nije racionalno. To je, #sqrt (5) * je iracionalan.