Što je derivat od x ^ n?

Za funkciju #F (x) = x ^ n #, n treba ne jednaka 0, iz razloga koji će postati jasni. n treba također biti cijeli broj ili racionalni broj (tj. frakcija).

Pravilo je:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Drugim riječima, "pozajmljujemo" moć x-a i činimo ga koeficijentom izvedenice, a zatim oduzimamo 1 od moći.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Kao što sam spomenuo, poseban slučaj je gdje je n = 0. Ovo znači to

#F (x) = x ^ 0 = 1 #

Možemo koristiti naše pravilo i tehnički dobiti pravi odgovor:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Međutim, kasnije niz stazu, naići ćemo na komplikacije kada pokušamo iskoristiti inverzno pravilo.

Odgovor:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

U nastavku se nalaze dokazi za sve brojeve, ali samo dokaz za sve integers koristi osnovni skillset od definicije derivata. Dokaz za sve racionalnosti koristi pravilo lanca, a za iracionalne koristi implicitnu diferencijaciju.

Obrazloženje:

S obzirom na to, pokazat ću im sve ovdje, tako da možete razumjeti proces. Čuvajte se toga #htjeti# biti prilično dugo.

Iz #y = x ^ (n) #, ako #n = 0 # imamo #y = 1 # a derivat konstante je uvijek nula.

Ako # # N je bilo koji drugi pozitivni cijeli broj možemo ga baciti u derivativnu formulu i koristiti binomni teorem za rješavanje nereda.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

Gdje # K_i # je odgovarajuća konstanta

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

To dijelimo # # H

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Možemo izvaditi prvi rok iz iznosa

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Uzimajući granicu, sve ostalo što je još u sumi ide na nulu. računanje # K_1 # vidimo da je jednako # # N, Dakle

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Za # # N koji su negativni prirodni brojevi, to je malo kompliciranije. Znajući da # x ^ -n = 1 / x ^ b #, tako da #b = -n # i stoga je pozitivan.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Izvadite prvi termin

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) *

Uzmi granicu, Gdje? # K_1 = b #, podvrgavajući to natrag # # N

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Za racionalnosti moramo koristiti pravilo lanca. tj.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Dakle, znajući to # x ^ (1 / n) = korijen (n) (x) # i pretpostavljajući #n = 1 / b # imamo

# (x ^ n) ^ b = x #

Ako # B # odgovor je tehnički # | X | # ali ovo je dovoljno blizu za naše potrebe

Dakle, koristeći pravilo lanca koje imamo

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

I posljednje, ali ne i najmanje važno, pomoću implicitne diferencijacije možemo dokazati za sve realne brojeve, uključujući iracionalne.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #