Dokazati da broj sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) nije racionalan za bilo koji prirodni broj n veći od 1?

Odgovor:

Pogledajte objašnjenje …

Obrazloženje:

Recimo:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) * je racionalno

Tada njegov kvadrat mora biti racionalan, tj.

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) *

i stoga je tako:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) *

Možemo opetovano kvadrirati i oduzimati da bismo ustanovili da sljedeće mora biti racionalno:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Stoga # N = k ^ 2 # za neki pozitivni cijeli broj #k> 1 # i:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Imajte na umu da:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Stoga # K ^ 2 + k-1 # nije kvadrat cijelog broja ni i #sqrt (k ^ 2 + k-1) # je iracionalan, što je u suprotnosti s našom tvrdnjom #sqrt (n-1 + sqrt (n)) * je racionalno.

Odgovor:

Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

Pod pretpostavkom

#sqrt (1 + sqrt (2 + + cdots sqrt (n))) = p / q # s # P / q # nemamo reductible imamo

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

što je apsurdno, jer u skladu s tim rezultatom, bilo koji kvadratni korijen pozitivnog cijelog broja je racionalan.