Koje su vrijednosti r (s r> 0) za koje serija konvergira?

Odgovor:

#R <1 / e # je uvjet za konvergenciju #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) #

Obrazloženje:

Ja ću samo odgovoriti na dio o konvergenciji, pri čemu je prvi dio odgovora u komentarima. Možemo koristiti # R ^ ln (n) = n ^ ln (r) # za prepravljanje zbroja #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) # u obliku

#sum_ (n = 1) ^ on ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {za} p = -ln (r) #

Serija na desnoj strani je serijski oblik za poznatu Riemannovu funkciju Zeta. Dobro je poznato da se ova serija konvergira kada #p> 1 #, Koristeći ovaj rezultat izravno daje

# -ln (r)> 1 podrazumijeva ln (r) <- 1 podrazumijeva r <e ^ -1 = 1 / e #

Rezultat o Riemann Zeta funkcijama je vrlo dobro poznat, Ako želite ab initio odgovor, možete pokušati integralni test za konvergenciju.