Nađi vrijednosti x za koje je sljedeća serija konvergentna?

Odgovor:

#1<>

Obrazloženje:

Kada pokušavate odrediti radijus i / ili interval konvergencije energetskih serija kao što su ovi, najbolje je koristiti Ratio Test, koji nam govori za seriju # Suma_n #, pustili smo

# L lim_ (n> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Ako UL <1 # serija je apsolutno konvergentna (i stoga konvergentna)

Ako #L> 1 #, serija se razlikuje.

Ako # L = 1, # Ratio Test je neuvjerljiv.

Međutim, za seriju Power moguće su tri slučaja

a. Snaga serija konvergira za sve realne brojeve; njegov interval konvergencije je # (- oo, oo) #

b. Power series konvergira za neki broj # x = jedan, # njegov radijus konvergencije je nula.

c. Najčešći slučaj je da se serija napajanja konvergira za # | X-a |<> s intervalom konvergencije # A-

# | 2x-3 | lim_ (n> oo) 1 = | 2x-3 | #

Dakle, ako # | 2x-3 | <1 #, serija konvergira. Ali ovo nam treba u obliku # | X-a |<>

# | 2 (x-3/2), | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | X-3/2 | <1/2 # rezultate u konvergenciji. Radijus konvergencije je # R = 1/2 #

Sada odredimo interval:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Moramo uključiti # x = 1, x = 2 # u izvornu seriju kako bismo vidjeli imamo li konvergenciju ili divergenciju na tim krajnjim točkama.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # divergira, zbrajanje nema granica i sigurno ne ide na nulu, samo izmjenjuje znakove.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # također se divergira testom divergencije, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Zbog toga se serija konvergira za #1<>

Možemo koristiti test omjera koji kaže da ako imamo seriju

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

definitivno je konvergentna ako:

#lim_ (n> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

U našem slučaju, # A_n = (2 x-3) ^ n #, pa provjeravamo ograničenje:

#lim_ (n> oo) | (2 x-3) ^ (n + 1) / (2 x-3) ^ n | = lim_ (n> oo) | ((2 x-3) poništavanje ((2 x 3) ^ n)) / otkazivanje ((2 x-3) ^ n) | = #

# = Lim_ (n> oo) | 2x-3 | 3 = 2x-#

Dakle, moramo provjeriti kada # | 2x-3 | # je manje od #1#:

Ovdje sam pogriješio, ali gore navedeni odgovor ima istu metodu i točan odgovor, zato samo pogledajte.