Ponovno napišite jednadžbu u rotiranom x'y'-sustavu bez x'y 'termina. Mogu li dobiti pomoć? Hvala!

Odgovor:

Drugi odabir:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9-1 #

Obrazloženje:

Navedena jednadžba

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

je u općem kartezijanskom obliku za konusni presjek:

# Sjenica ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

gdje #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 i F = -144 #

Referentna rotacija osi daje nam jednadžbe koje nam omogućuju da rotiramo konusni presjek do određenog kuta, # Teta #, Također, daje nam jednadžbu koja nam omogućuje da prisilimo koeficijent # Xy # postati 0.

# theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Zamjenom vrijednosti iz jednadžbe 1:

# theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Pojednostaviti:

# theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Koristite jednadžbu (9.4.4b) da provjerite da nova rotacija uzrokuje koeficijent # Xy # termin je 0:

#B '= (A-C) sin (2 theta) + B cos (2 theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # provjereno.

Za izračunavanje koristite jednadžbu (9.4.4a) # A '#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2ta) - B / 2 sin (2ta)

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Za izračunavanje koristite jednadžbu (9.4.4c) # C '#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2ta) + B / 2 sin (2ta)

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Za izračunavanje koristite Equation (9.4.4f) # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

Sada možemo napisati nerotirani oblik:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Podijelite obje strane sa 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Dodati 1 na obje strane:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9-1 #

Odgovor:

Opcija B

Obrazloženje:

Jednadžbu možemo napisati u matričnom obliku i zatim je zavrtiti na glavnu os.

Neka:

#bb x ^ TMbbx = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implies a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

I tako u matričnom obliku:

#bb x ^ T (31,5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad square #

Za zakretanje osi # Bbx # po # Teta #:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

transponiranje #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #R je ortogonalna

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Stavljanje ovih posljednjih 2 rezultata #kvadrat#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW ako R je matrica koja dijagonalizira M, tada imamo jednadžbu u smislu svojih glavnih osi za dijagonalnu matricu svojstvenih vektora D, tj.

• #D = R M R ^ (- 1) #

M svojstvene vrijednosti su 36 i 16 tako da se mogu dijagonalizirati kao:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #