Kako ocjenjujete integral od int (dt) / (t-4) ^ 2 od 1 do 5?

Odgovor:

Zamjena # x = t-4 #

Odgovor je, ako ste doista tražili da nađete integral:

#-4/3#

Ako tražite područje, ipak nije tako jednostavno.

Obrazloženje:

# Int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

Set:

# T-4-x #

Stoga je razlika:

# (D (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# Dt = dx #

I granice:

# X_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# X_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Sada zamijenite ove tri pronađene vrijednosti:

# Int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1dx / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

BILJEŠKA: NEMOJTE PROČITATI OVU AKO NIJE UČENI KAKO DOĆI NA PODRUČJE, Iako bi to zapravo trebalo predstavljati područje između ta dva ograničenja i budući da je uvijek pozitivno, trebalo je biti pozitivno. Međutim, ova funkcija je nije kontinuirano na # X = 4 # tako da ovaj integralni dio ne predstavlja područje, ako je to ono što ste htjeli. To je malo kompliciranije.

Odgovor:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Obrazloženje:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Odgovor:

Ovisno o tome koliko ste integracija naučili, "najbolji" odgovor će biti: "integralni nije definiran" (još) ili "integralni odstupanja"

Obrazloženje:

Kada pokušamo procijeniti # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, trebamo provjeriti je li integrand definiran na intervalu na kojem se integriramo.

# 1 / (x-4) ^ 2 # nije definirano na #4#, tako je ne na cijelom intervalu #1,5#.

Rano u proučavanju računice, definiramo integral polazeći od

„Neka # F # definirati u intervalima # A, b #… '

Tako je rano u našoj studiji najbolji odgovor na to

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# nije definirano (još?)

Kasnije proširujemo definiciju na ono što se naziva "nepravilni integrali"

To uključuje integrale na neograničenim intervalima (# (- oo, b #, # A, oo) # i # (- oo, oo) #) te također intervale na kojima integrand ima točke gdje nije definiran.

Za (pokušati) procijeniti # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, ocjenjujemo dva neispravna integrala # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Imajte na umu da integrand na njima još nije definiran zatvoreno intervali.)

Metoda je zamijeniti točku u kojoj je integrand definiran s varijablom, a zatim uzeti granicu jer se ta varijabla približava broju.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Nađimo prvi sastavni dio:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Tražim granicu kao # Brarr4 ^ - #, vidimo da granica ne postoji. (Kao # Brarr4 ^ - #, vrijednost # -1 / (b-4) * povećava se bez ograničenja.)

Stoga je integralni #1,4# ne postoji tako i integralni #1,5# ne postoji.

Kažemo da se integralni divergira.

Bilješka

Neki bi rekli: sada imamo a definicija integrala, ne postoji niti jedan broj koji zadovoljava definiciju.