Kako ocjenjujete određeni integralni int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) od [0, pi / 4]?

Odgovor:

# Pi / 4 #

Obrazloženje:

Primijetite da iz drugog pitagorejskog identiteta to

# 1 + tan ^ 2x = sek ^ 2x #

To znači da je frakcija jednaka 1 i to nam ostavlja prilično jednostavan integral

# int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4 #

Odgovor:

# Pi / 4 #

Obrazloženje:

Zanimljivo je i to da se to uklapa u oblik arctangent integrala, i to:

# Int1 / (1 + u ^ 2) du = arctan (u) #

Ovdje, ako # U = tanx # zatim # Du = sek ^ 2xdx #, onda:

# Intsec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) dx = Int1 / (1 + u ^ 2) du = arctan (u) = arctan (tanx) = x #

Dodavanje granica:

# Int_0 ^ (pi / 4) sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) dx = x _0 ^ (pi / 4) = pi / 4-0-pi / 4 #

Kako ocjenjujete integralni int sinhx / (1 + coshx)?

Int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C Počinjemo uvođenjem u-supstitucije s u = 1 + cosh (x). Derivacija u je tada sinh (x), tako da se dijelimo kroz sinh (x) da bismo se integrirali s obzirom na u: int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = int t (x)) / (poništi (sinh (x)) * u) du = int 1 / u Du Ovaj integral je zajednički integral: int 1 / t dt = ln | t | + C To čini naše integral: ln | u | + C Možemo ponovno uspostaviti: ln (1 + cosh (x)) + C, što je naš konačni odgovor. Uklanjamo apsolutnu vrijednost iz logaritma jer napominjemo da je cosh pozitivan na svojoj domeni pa to nije potrebno.

Kako ocjenjujete definitivni integralni int t sqrt (t ^ 2 + 1dt) ograničen [0, sqrt7]?

To je int_0 ^ sqrt7 t * sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * (t ^ 2 + 1) '* sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2) / (3/2)] 'dt = 1/3 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2)] _ 0 ^ sqrt7 = 1/3 (16 sqrt (2) -1) 7.2091

Kako ocjenjujete definitivni integralni int (2t-1) ^ 2 iz [0,1]?

1/3 int_0 ^ 1 (2t-1) ^ 2dt Neka je u = 2t-1 podrazumijeva du = 2dt, dt = (du) / 2 Pretvaranje granica: t: 0rarr1 podrazumijeva u: -1rarr1 Integral postaje: 1 / 2int_ ( -1) ^ 1u ^ 2du = 1/2 [1 / 3u ^ 3] _ (- 1) ^ 1 = 1/6 [1 - (-1)] = 1/3