Odgovor:
Ona apsolutno konvergira.
Obrazloženje:
Koristite test za apsolutnu konvergenciju. Ako uzmemo apsolutnu vrijednost izraza, dobivamo seriju
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
To je geometrijska serija zajedničkog omjera #1/4#, Tako se konvergira. Od oboje # | A_n | # težiti # A_n # konvergira apsolutno.
Nadam se da ovo pomaže!
Odgovor:
# "To je jednostavna geometrijska serija i potpuno se konvergira s" # # # "zbroj" = 16/5 = 3.2. "#
Obrazloženje:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", pod uvjetom da | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Uzmi" a = -1/4 ", onda imamo" # #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Sada je naša serija četiri puta veća nego što je prvi termin 4."
# "Dakle, naša serija" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Odgovor:
Geometrijska serija apsolutno konvergira s
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Obrazloženje:
Ova serija je definitivno izmjenična serija; međutim, također izgleda geometrijski.
Ako možemo odrediti zajednički omjer koji dijele svi pojmovi, serija će biti u obliku
#sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n #
Gdje # S # je prvi termin i # R # je uobičajeni omjer.
Morat ćemo pronaći sažetak koristeći gore navedeni format.
Podijelite svaki pojam s pojmom prije njega kako biste odredili uobičajeni omjer # R #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Dakle, ova serija je geometrijska, s uobičajenim omjerom # R = -1/4 #, i prvi pojam # A = 4 #
Možemo napisati seriju kao
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Sjetite se da je geometrijska serija #sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n # konvergira na # A / (1-f) # ako # | R | <1 #, Dakle, ako konvergira, možemo pronaći i njegovu točnu vrijednost.
Ovdje, # | R | = | -1/4 | = 1/4 '1 #, tako da serija konvergira:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Sada, utvrdimo je li apsolutno konvergirana.
# A_n = 4 (-1/4) ^ n #
Uklonite izmjenični negativni izraz:
# A_n = 4 (1) ^ n (1/4) ^ n #
Uzmite apsolutnu vrijednost, uzrokujući nestajanje izmjeničnog negativnog pojma:
# | A_n | = 4 (1/4) ^ n #
Tako, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Mi vidimo # | R | = 1/4 '1 #, pa još uvijek imamo konvergenciju:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
Serija konvergira apsolutno, s
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
