Grijeh ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Možete li riješiti ovo?

Odgovor:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Obrazloženje:

Imamo:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (1 - cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx-2 (cosx-cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x-1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1

pustiti #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

Vidimo to #u = -1 # je čimbenik. Koristimo sintetičku podjelu

# 0 = (x + 1) (4 x ^ 2 - 2x - 1) #

Jednadžba # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # može se riješiti pomoću kvadratne formule.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 ili -0.309 #

Od #cosx = u #, dobivamo #x = pi / 5, (3pi) / 5 # i # Pi #.

Gdje # # N je cijeli broj.

Graf # y_1 = sin ^ 4x-cos ^ 4x # i # y_2 = cos (3x) # potvrđuje da su rješenja presjecišta.

Nadam se da ovo pomaže!

Odgovor:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Obrazloženje:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, ili

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Jedinični krug, i svojstvo cos, dati ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

a. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Ako je k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Ako je k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Ako je k = 0 -> #x = - pi / 5 #, ili #x = (9pi) / 5 # (Ko-terminal)

Ako je k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

U zatvorenom intervalu 0, 2pi, odgovori su:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Provjerite pomoću kalkulatora.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0,111 # --> # cos ^ 4 x = - 0,428 # cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0.119 - 0.428 = - 309 #, Dokazao

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0,111 # --> # cos ^ 4 x = 0,428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0,309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0,309 #, Dokazao

Odgovor:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # NrarrZ #

Obrazloženje:

# Rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2x-cos ^ 2 x) = cos3x #

# Rarr-cos2x = cos3x #

# Rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3 x + 2x) / 2)) * cos ((3 x-2 x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

Ili #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # NrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# Rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi # # Nrarr #

Odgovor:

Opće rješenje ne zahtijeva formulu trostrukog kuta i jest

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # ili # x = 36 ^ circ + 72 ^ cir k

za cijeli broj # K #.

Obrazloženje:

Ne volim čitati odgovore drugih ljudi prije nego što osobno riješim pitanje. No, istaknuti odgovor za ovu pojavio se. Tijekom brzog pogleda nisam mogao primijetiti da je izgledalo prilično komplicirano za ono što mi se čini kao relativno jednostavno pitanje. Pokušat ću.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

Bio sam na Sokratu nekoliko tjedana, a ovo se pojavljuje kao moja tema: Opće rješenje #cos x = cos a # je #x = pm a + 360 ^ circ k quad # za cijeli broj # K. #

# 180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k #

# 2x: 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Znake uzimamo odvojeno. Plus prvo:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Minus sljedeći.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ cir k

Ako ih pažljivo pročitate, možda ćete pomisliti da pogrešim načinom na koji manipuliram # K #, Ali od tada # K # rasponi iznad svih prirodnih brojeva, kao što su zamjene #k to -k # i #k do k + 1 # dopušteno je, a ja ih stavljam da zadržim znakove #+# kada mogu biti.

Ček:

Idemo odabrati par koji ćemo provjeriti. Dovoljno sam čudan da znam #cos 36 ^ circ # je pola Zlatnog omjera, ali neću to točno izvesti, samo ih ubacite u Wolfram Alpha kako bi bili sigurni.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #