Kako izračunati zbroj toga? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

Odgovor:

Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

S obzirom #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

ali # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # i

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # zatim

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Odgovor:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # kada # | X | <1 #

Obrazloženje:

Počinjemo pisanjem nekih od koeficijenata:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

Prvo što želimo pogledati su koeficijenti (stupanj #x# može se vrlo lako prilagoditi množenjem i dijeljenjem serije s #x#, tako da nisu toliko važni). Vidimo da su svi višestruki od dva, tako da možemo izvesti faktor dva:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Koeficijenti unutar ove zagrade mogu se prepoznati kao binomna serija sa snagom # A = -3 #:

# (1 + x) ^ a = 1 + alphax + (alfa (a-1)) / (2!) X ^ 2 + (alfa (a-1), (a-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3-1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Primjećujemo da su eksponenti svih pojmova u zagradama veći za dva u usporedbi s nizom koji smo tek izveli, tako da moramo pomnožiti # X ^ 2 # da biste dobili pravu seriju:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3-2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

To znači da je naša serija (kada se konvergira) jednaka:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Samo da bismo provjerili da nismo napravili pogrešku, možemo brzo koristiti Binomijalne serije za izračunavanje serije # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3-2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2) x ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) x ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 x 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 x 3) / 2x ^ 2- (5 x 4) / 2x ^ 3 …) = #

Možemo opisati ovaj obrazac na sljedeći način:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Budući da je prvi mandat pravedan #0#, možemo pisati:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

što je serija s kojom smo započeli, potvrđujući naš rezultat.

Sada samo trebamo saznati interval konvergencije, da vidimo kada serija zapravo ima vrijednost. To možemo učiniti promatrajući uvjete konvergencije binomnih serija i otkriti da se serija konvergira kada # | X | <1 #

Zbroj brojeva je 8, a zbroj njihovih kvadrata je 170. Kako ste pronašli brojeve?

X = 11, x = 7 Moguće je riješiti za 2 broja kao dva uvjeta, a njihov zbroj 18 ne 8 Ako je jedan broj uzet x onda je drugi 18-x Po danom uvjetu x ^ 2 + (18-x) ^ 2 = 170 => 2x ^ 2-36x + 324 = 170 Dijeljenje obiju strana s 2 => x ^ 2-18x + 162-85 = 0 => x ^ 2-18x + 77 = 0 => x ^ 2-11x-7x + 77 = 0 => x (x-11) -7 (x-11) = 0 => (x-11) (x-7) = 0 x = 11, x = 7 Dakle, jedan je ne 11, a drugi 7 Da li je ispravak u redu? Intimno, pl

Poznavanje formule za zbroj N cijelih brojeva a) što je zbroj prvih N uzastopnih kvadratnih brojeva, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1) ) ^ 2 + N ^ 2? b) Zbroj prvih N uzastopnih prirodnih brojeva kocke Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Za S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n) ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Imamo sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 rješavanje za sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3/3 (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni, ali sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 tako sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n) +1) ^ 3 / 3- (n +

Kako mogu znati kako izračunati izgledi struje prolazi u električnom krugu?

"Dio 1) 0.80164" "Dio 2) 0.31125" "Postoji 5 prekidača koji mogu biti otvoreni ili zatvoreni." "Stoga postoji najviše" 2 ^ 5 = 32 "slučaja za istraživanje." "Ipak možemo uzeti nekoliko prečaca:" "Ako su i 1 i 4 otvorena ILI su i 2 i 5 otvorena, struja" "ne može proći." "Dakle (1 ILI 4) I (2 ILI 5) moraju biti zatvoreni." "Ali postoje dodatni kriteriji:" "Ako su (4 i 2) otvorene, 3 moraju biti zatvorene." "Ako su (1 i 5) otvorene, 3 moraju biti zatvorene." "Dakle, ako uočimo (O, C, O, C, C) kao 1, a 3