Kako ste pronašli sva rješenja 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0?

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # za

#x u {(3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # gdje #n u ZZ #

Riješiti: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

Prvo zamijenite # cos ^ 2 x # po # (1 - sin ^ 2 x) #

# 2 (1 - sin ^ 2 x) - sin x - 1 = 0 #.

Poziv # sin x = t #, imamo:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

To je kvadratna jednadžba forme # na ^ 2 + bt + c = 0 # koji se može riješiti putem prečaca:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

ili faktoring # - (2'-1) (t + 1) = 0 #

Jedan pravi korijen je # t_1 = -1 # a drugi je # t_2 = 1/2 #.

Zatim riješite 2 osnovne trigonometrijske funkcije:

# t_1 = sin x_1 = -1 #

# Rarr # # x_1 = pi / 2 + 2npi # (za #n u ZZ #)

i

# t_2 = sin x_2 = 1/2 #

# Rarr # # x_2 = pi / 6 + 2npi #

ili

# Rarr # # x_2 = (5pi) / 6 + 2 npi #

Provjerite pomoću jednadžbe (1):

#cos (3pi / 2) = 0; sin (3pi / 2) = -1

#x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (Ispravno)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; sin (pi / 6) = 1/2 #.

#x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (Ispravno)