Kako utvrditi je li neprimjeren integral konvergira ili divergira int 1 / [sqrt x] od 0 do beskonačnosti?

Odgovor:

Integral se razlikuje.

Obrazloženje:

Mogli bismo upotrijebiti usporedni test za nepravilne integrale, ali u ovom slučaju integral je tako jednostavan za procjenu da ga možemo jednostavno izračunati i vidjeti je li vrijednost ograničena.

# int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oOx ^ (- 1/2) = 2sqrtx _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) = oo #

To znači da se integralni divergira.

Kako utvrditi jesu li linije za svaki par jednadžbi 3x + 2y = -5 y = -2 / 3x + 6 paralelne, okomite ili ne?

Crte nisu paralelne, niti su okomite. Prvo dobivamo dvije linearne jednadžbe u obliku y = mx + b: L_1: y = -2 / 3x + 6 -> m = -2 / 3 L_2: 3x + 2y = -5 L_2: 2y = -3x-5 L_2: y = -3 / 2x-5 -> m = -3 / 2 Ako su linije paralelne, imat će istu m-vrijednost, koju ne, pa ne mogu biti paralelne. Ako su ta dva pravca okomita, njihove m-vrijednosti bi bile međusobno negativne recipročke. U slučaju L_1, negativna recipročna vrijednost bi bila: -1 / (- 2/3) = - (- 3/2) = 3/2 Ovo je gotovo negativna recipročna, ali smo isključeni znakom minus, tako da crte nisu okomite.

Koristeći definiciju konvergencije, kako dokazati da slijed {5+ (1 / n)} konvergira od n = 1 do beskonačnosti?

Dopustiti: a_n = 5 + 1 / n zatim za bilo koji m, n u NN s n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) kao n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n i kao 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. S obzirom na bilo koji stvarni broj epsilon> 0, odaberite onda cijeli broj N> 1 / epsilon. Za bilo koji cijeli broj m, n> N imamo: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon koji dokazuje Cauchyjev uvjet konvergencije niza.

Koristeći definiciju konvergencije, kako dokazati da slijed [2 ^ -n] konvergira od n = 1 do beskonačnosti?

Koristite svojstva eksponencijalne funkcije za određivanje N, kao što je | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon za svaki m, n> N Definicija konvergencije kaže da se {a_n} konvergira ako: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Dakle, s obzirom na epsilon> 0 uzmite N> log_2 (1 / epsilon) i m, n> N s m <n Kao m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 tako | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1 - 2 ^ (mn)) Sada kao 2 ^ x uvijek pozitivno, (1 - 2 ^ (mn)) <1, dakle 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) i kao 2 ^ (- x) strog