Molimo objasnite, ovo je Linearna transformacija ili ne?

Odgovor:

Pogledaj ispod

Obrazloženje:

Trasformacija #T: V na W # se kaže da je linearan ako ima sljedeća dva svojstva:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # za svaki # v_1, v_2 u V #
• #T (cv) = CT (v) * za svaki #v u V # i svaki skalar # C #

Imajte na umu da to drugo svojstvo pretpostavlja # V # ugrađen je s dvije operacije množenja suma i skalara. U našem slučaju, zbroj je zbroj među polinomima, a množenje je množenje s realnim brojevima (pretpostavljam).

Kada izvadite polinom smanjite njegov stupanj #1#, pa ako ste izvući polinom stupnja #4# dva puta, dobit ćete polinom stupnja #2#, Imajte na umu da, kada govorimo o skupu svih četiri stupnja polinomija, mi zapravo znači skup svih polinoma stupnja najviše četiri. Zapravo, generički polinom stupnja je

# A_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + 3 + a_3x ^ a_4x ^ 4 #

Ako želite polinom stupnja dva # 3 + 6x-5x ^ 2 #na primjer, jednostavno odabirete

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

S tim rečima, idemo identificirati polinomni prostor stupnja # # N s # P_n #i definirajte našeg operatora #T: P_4 # tako da #T (f (x)) = f '' (x) #

Proverimo prvo svojstvo: pretpostavimo da imamo polinome

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

i

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Ovo znači to # P_1 + p_2 # jednak

# (A_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # je drugi derivat ovog polinoma, tako da jest

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (+ a_4 b_4) x ^ 2 #

(Dvaput sam primijenio pravilo snage za derivaciju: drugi derivat od # X ^ n # je #N (n-1) x ^ {n-2} #)

Sada ćemo izračunati #T (p_1) #drugi derivat od # P_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Slično tome, #T (p_2) #drugi derivat od # P_2 #, je

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Ako zbrojite ove izraze, možete vidjeti da imamo

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

Drugo svojstvo prikazano je na sličan način: s obzirom na polinom

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

imamo, za bilo koji stvarni broj # C #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

njegov drugi derivat je stoga

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

što je opet isto kao računanje #T (p) #, a zatim sve pomnožite # C #tj. #T (cp) = CT (p) #