Kako ocjenjujete [(1 + 3x) ^ (1 / x)] kako se x približava beskonačnosti?

Odgovor:

#lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = 1 #

Obrazloženje:

Koristiti divan trik koji koristi činjenicu da su eksponencijalne i prirodne log funkcije inverzne operacije. To znači da ih možemo primijeniti bez promjene funkcije.

#lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) e ^ (ln (1 + 3x) ^ (1 / x)) #

Koristeći eksponentno pravilo logova, možemo donijeti silu naprijed dajući:

#lim_ (xrarroo) e ^ (1 / xln (1 + 3 x)) *

Eksponencijalna funkcija je kontinuirana, tako da to možete napisati kao

# E ^ (lim_ (xrarroo) 1 / xln (1 + 3 x)) *

i sada se bavite ograničenjem i zapamtite ga vratiti natrag u eksponencijalno.

#lim_ (xrarroo) 1 / xln (1 + 3x) = lim_ (xrarroo) (ln (1 + 3x)) / (x) #

Ova granica je neodređenog oblika # Oo / oo # zato upotrijebite L'Hopitalov.

#lim_ (xrarroo) (ln (1 + 3x)) / x = lim_ (xrarroo) (d / (dx) (ln (1 + 3x))) / (d / (dx) (x)) = lim_ (xrarroo) (3 / (1 + 3x)) = 0 #

Stoga je granica eksponenta 0, tako da je ukupna granica # E ^ 0 = 1 #

Koja je granica (1+ (4 / x)) ^ x kako se x približava beskonačnosti?

E ^ 4 Zabilježite binomnu definiciju za Eulerov broj: e = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / x) ^ x- = lim_ (x-> 0) (1 + x) ^ (1 / x) Ovdje Koristit ću definiciju x-> oo. U toj formuli, y = nx Zatim 1 / x = n / y, a x = y / n Eulerov broj tada je izražen u općenitijem obliku: e = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ (y / n) Drugim riječima, e ^ n = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ y Budući da je y također varijabla, možemo zamijeniti x umjesto y: e ^ n = lim_ (x-> oo) (1 + n / x) ^ x Dakle, kada je n = 4, lim_ (x-> oo) (1 + 4 / x) ^ x = e ^ 4

Kako ste pronašli granicu xtan (1 / (x-1)) kako se x približava beskonačnosti?

Granica je 1. Nadam se da netko ovdje može ispuniti praznine u mom odgovoru. Jedini način na koji to mogu riješiti je da proširi tangent pomoću Laurentove serije na x = oo. Nažalost, još nisam učinio mnogo složene analize pa ne mogu proći kroz to kako se to radi, ali koristeći Wolfram Alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=laurent+series+tan (1% 2F ( x-1)) Dobio sam da je tan (1 / (x-1)) proširen na x = oo jednak: 1 / x + 1 / x ^ 2 + 4 / (3x ^ 3) + 2 / (x ^ 4) + 47 / (15x ^ 5) + O (((1) / (x)) ^ 6) Množenje s x daje: 1 + 1 / x + 4 / (3x ^ 2) + 2 / (x ^ 3) + ... Dakle, jer svi pojmovi osim prvog imaju x na nazivniku i k

Kako ste pronašli granicu (ln x) ^ (1 / x) kako se x približava beskonačnosti?

Lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 Počinjemo s prilično čestim trikom kada se bavimo varijabilnim eksponentima. Možemo uzeti prirodni dnevnik nečega i onda ga podići kao eksponent eksponencijalne funkcije bez promjene njegove vrijednosti jer su to inverzne operacije - ali nam omogućuje da koristimo pravila dnevnika na koristan način. lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) Koristeći eksponentno pravilo logova: = lim_ (xrarroo) ) exp (1 / xln (ln (x))) Primijetite da je eksponent koji se mijenja kao xrarroo tako da se možemo fokusirati na njega i pomaknuti eksponencijalnu funkciju