Kako ste pronašli granicu (ln x) ^ (1 / x) kako se x približava beskonačnosti?

Odgovor:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Obrazloženje:

Počinjemo s prilično čestim trikom kada se bavimo s varijabilnim eksponentima. Možemo uzeti prirodni dnevnik nečega i onda ga podići kao eksponent eksponencijalne funkcije bez promjene njegove vrijednosti jer su to inverzne operacije - ali nam omogućuje da koristimo pravila dnevnika na koristan način.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

Koristeći eksponentno pravilo zapisnika:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Primijetite da se eksponent razlikuje ovisno o tome # Xrarroo # tako da se možemo usredotočiti na nju i pomaknuti eksponencijalnu funkciju izvana:

# = Exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) *

Ako pogledate ponašanje prirodne funkcije dnevnika, primijetit ćete da kao x teži beskonačnosti, vrijednost funkcije također teži beskonačnosti, iako vrlo sporo. Kada uzmemo #ln (ln (x)) * imamo varijablu unutar log funkcije koja teži beskonačno vrlo sporo, što znači da imamo cjelokupnu funkciju koja teži beskonačnosti iznimno polako. Grafikon u nastavku obuhvaća samo do # X = 1000 # ali pokazuje izrazito spor rast #ln (ln (x)) * čak iu usporedbi sa sporim rastom #ln (x) *.

Iz tog ponašanja to možemo zaključiti #x# će pokazati mnogo brži asimptotički rast i da će granica eksponenta stoga biti nula. #color (plava) ("To znači da je ukupna granica = 1.") #

Također se možemo pozabaviti ovom točkom L'hopitalovim pravilom. Potrebno je da granica bude u neodređenom obliku, tj # 0/0 ili oo / oo # stoga provjeravamo je li to slučaj:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

To je doista slučaj pa granica postaje:

# = Exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) *

Razlikovati #y = ln (ln (x)) # prepoznati da imamo #Y (u (x)) * i koristiti pravilo lanca

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) podrazumijeva (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) podrazumijeva (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#tako (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Derivat od #x# je #1#, Ograničenje postaje:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) #

Rekli smo da obje funkcije na nazivniku teže beskonačnosti, tako da imamo

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #