Što je arclength of r = 3 / 4theta na theta u [-pi, pi]?

Odgovor:

# L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (PI + sqrt (pi ^ 2 + 1)) * jedinice.

Obrazloženje:

# R = 3 / 4theta #

# R ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 #

# R '= 3/4 #

# (R ') ^ 2 = 9/16 #

Dužina arke je dana:

# L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16ta ^ 2 + 9/16) d theta #

Pojednostaviti:

# L = 3 / 4in_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta #

Iz simetrije:

# L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta #

Primijenite zamjenu # Theta = tanphi #:

# L = 3 / ^ 2intsec 3phidphi #

Ovo je poznati integral:

# L od 3/4 secphitanphi + ln | secphi + tanphi | #

Obrni zamjenu:

# L od 3/4 thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) | _0 ^ pi #

Umetnite granice integracije:

# L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (PI + sqrt (pi ^ 2 + 1)) *

Što je arclength of r = 4theta na theta u [-pi / 4, pi]?

Oko 27.879 Ovo je pregledna metoda. Malo dijela posla obavljeno je računalom. Duljina luka s = int dot s dt i dot s = sqrt (vec v * vec v) Sada, za vec r = 4 theta r vec v = točka r hat r + r dot theta šešir theta = 4 dot theta hat + 4 theta dot theta theta = 4 dot theta (kapa r + theta) theta) Točka s = 4 dot theta sqrt (1 + theta ^ 2) duljina luka s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) ) sqrt (1 + theta ^ 2) dot theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta] _ (- pi / 4) računalno rješenje ^ (pi). Pogledajte Youtube povezati ovdje za metodu oko 27.879 računalo rj

Pokažite da, (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?

Pogledajte dolje. Neka 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), ovdje r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2) ) -2) = 2cos (theta / 2) i tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) ili alfa = theta / 2 zatim 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alfa) + isin (-alfa)) = r (cosalpha-isinalpha) i možemo pisati (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n koristeći DE MOivreov teorem kao r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r ^ ncosnalpha = 2 * 2 ^ n

Ako je sin theta + cos theta = p, što je sin ^ 2 theta + cos ^ 4theta u smislu p?

1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2 (sintheta + costheta) ^ 2 = 1 + 2sintetakošteta = p ^ 2 tako sinthetokosteta = (p ^ 2-1) / 2 sada sin ^ 2tea + cos ^ 4theta = sin ^ 2 theta + (1-sin ^ 2theta) cos ^ 2theta = 1-sin ^ 2thetacos ^ 2theta i stavljajući sve zajedno grijeh ^ 2theta + cos ^ 4theta = 1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2