Kako pronaći f '(x) koristeći definiciju derivata za f (x) = sqrt (9 - x)?

Odgovor:

#F "(x) = - 1 / (2sqrt (9-x)) *

Obrazloženje:

Zadatak je u obliku #F (x) = F (g (x)) = F (u) #

Moramo koristiti pravilo lanca.

Pravilo lanca: #F '(x) = F' (u) * u '#

Imamo #F (u) = sqrt (9-x) = kvadratni korijen (u) #

i # U-9-x #

Sada ih moramo izvesti:

#F '(u) = u ^ (1/2) = 1 / 2u ^ (- 1/2) #

Napišite izraz kao "lijepu" što je više moguće

i dobivamo #F '(u) = 1/2 * 1 / (U ^ (1/2)) = 1/2 * 1 / sqrt (u) #

moramo izračunati u '

#U '= (9-x) = - 1 #

Sada je jedino preostalo ispuniti sve što imamo, u formulu

#F '(x) = F' (u) * u '= 1/2 * 1 / sqrt (u) * (- 1) = - 1/2 * 1 / sqrt (9-x) *

Odgovor:

Da biste koristili definiciju, pogledajte odjeljak objašnjenja u nastavku.

Obrazloženje:

#f (x) = sqrt (9-x) #

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / h #

# = lim_ (hrarr0) (sqrt (9- (x + h)) - sqrt (9-x)) / h # (Oblik #0/0#)

Racionalizirajte brojnik.

# = lim_ (hrarr0) ((sqrt (9- (x + h)) - sqrt (9-x))) / h * ((sqrt (9- (x + h)) + sqrt (9-x))) / ((sqrt (9- (x + h)) + sqrt (9-x))) #

# = lim_ (hrarr0) (9- (x + h) - (9-x)) / (h (sqrt (9- (x + h)) + sqrt (9-x))) #

# = lim_ (hrarr0) (- h) / (h (sqrt (9- (x + h)) + sqrt (9-x))) #

# = lim_ (hrarr0) (- 1) / ((sqrt (9- (x + h)) + sqrt (9-x)) #

# = (-1) / (sqrt (9-x) + sqrt (9-x) #

# = (-1) / (2sqrt (9-x)) #

Koristeći definiciju konvergencije, kako dokazati da slijed {5+ (1 / n)} konvergira od n = 1 do beskonačnosti?

Dopustiti: a_n = 5 + 1 / n zatim za bilo koji m, n u NN s n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) kao n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n i kao 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. S obzirom na bilo koji stvarni broj epsilon> 0, odaberite onda cijeli broj N> 1 / epsilon. Za bilo koji cijeli broj m, n> N imamo: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon koji dokazuje Cauchyjev uvjet konvergencije niza.

Koristeći definiciju konvergencije, kako dokazati da slijed [2 ^ -n] konvergira od n = 1 do beskonačnosti?

Koristite svojstva eksponencijalne funkcije za određivanje N, kao što je | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon za svaki m, n> N Definicija konvergencije kaže da se {a_n} konvergira ako: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Dakle, s obzirom na epsilon> 0 uzmite N> log_2 (1 / epsilon) i m, n> N s m <n Kao m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 tako | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1 - 2 ^ (mn)) Sada kao 2 ^ x uvijek pozitivno, (1 - 2 ^ (mn)) <1, dakle 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) i kao 2 ^ (- x) strog

Kako pronaći f '(x) koristeći definiciju derivata f (x) = sqrt (x 3)?

Samo iskoristite a ^ 2-b ^ 2 = (ab) (a + b) Odgovor je: f '(x) = 1 / (2sqrt (x-3)) f (x) = sqrt (x-3) ) f '(x) = lim_ (h-> 0) (sqrt (x + h-3) -sqrt (x-3)) / h = = lim_ (h-> 0) ((sqrt (x + h-) 3) -sqrt (x-3)) + (sqrt (x + H-3) + sqrt (x-3))) / (h (sqrt (x + H-3) + sqrt (x-3))) = = lim_ (h-> 0) (sqrt (x + h-3) ^ 2-sqrt (x-3) ^ 2) / (h (sqrt (x + h-3) + sqrt (x-3)) ) = = lim_ (h-> 0) (x + h-3-x-3) / (h (sqrt (x + h-3) + sqrt (x-3))) = = lim_ (h-> 0 ) h / (h (sqrt (x + h-3) + sqrt (x-3))) = = poništi (h-> 0) (h) / (poništi (h) (sqrt (x + h-3) ) + sqrt (x-3))) = = lim_ (h-> 0) 1 / ((sqrt (x + h-3) +