Kako pronaći f '(x) koristeći definiciju derivata f (x) = sqrt (x 3)?

Odgovor:

Samo iskoristi prednost # A ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #

Odgovor je:

#F "(x) = 1 / (2sqrt (x-3)) *

Obrazloženje:

#F (x) = x kvadratni korijen (3) #

#F "(x) = lim_ (h-> 0) (sqrt (x + H-3) -sqrt (x-3)) / h = #

# = Lim_ (h-> 0) ((sqrt (x + H-3) -sqrt (x-3)) + (sqrt (x + H-3) + sqrt (x-3))) / (h (sqrt (x + H-3) + sqrt (x-3))) = #

# = Lim_ (h-> 0) (sqrt (x + H-3) ^ 2-sqrt (x-3) ^ 2) / (h (sqrt (x + H-3) + sqrt (x-3))) = #

# = Lim_ (h-> 0) (x + h-3-x-3) / (h (sqrt (x + H-3) + sqrt (x-3))) = #

# = Lim_ (h-> 0) h / (h (sqrt (x + H-3) + sqrt (x-3))) = #

# = Lim_ (h-> 0) poništavanje (h) / (otkazivanje (h) ((x kvadratni korijen + H-3) + sqrt (x-3))) = #

# = Lim_ (h-> 0) 1 / ((sqrt (x + H-3) + sqrt (x-3))) = #

# = 1 / ((sqrt (x + 0-3) + sqrt (x-3))) = 1 / (sqrt (x-3) + sqrt (x-3)) = #

# = 1 / (2sqrt (x-3)) *

Koristeći definiciju konvergencije, kako dokazati da slijed {5+ (1 / n)} konvergira od n = 1 do beskonačnosti?

Dopustiti: a_n = 5 + 1 / n zatim za bilo koji m, n u NN s n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) kao n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n i kao 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. S obzirom na bilo koji stvarni broj epsilon> 0, odaberite onda cijeli broj N> 1 / epsilon. Za bilo koji cijeli broj m, n> N imamo: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon koji dokazuje Cauchyjev uvjet konvergencije niza.

Koristeći definiciju konvergencije, kako dokazati da slijed [2 ^ -n] konvergira od n = 1 do beskonačnosti?

Koristite svojstva eksponencijalne funkcije za određivanje N, kao što je | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon za svaki m, n> N Definicija konvergencije kaže da se {a_n} konvergira ako: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Dakle, s obzirom na epsilon> 0 uzmite N> log_2 (1 / epsilon) i m, n> N s m <n Kao m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 tako | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1 - 2 ^ (mn)) Sada kao 2 ^ x uvijek pozitivno, (1 - 2 ^ (mn)) <1, dakle 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) i kao 2 ^ (- x) strog

Kako pronaći f '(x) koristeći definiciju derivata za f (x) = sqrt (9 - x)?

F '(x) = - 1 / (2sqrt (9-x)) Zadatak je u obliku f (x) = F (g (x)) = F (u) Moramo koristiti pravilo lanca. Pravilo lanca: f '(x) = F' (u) * u 'Imamo F (u) = sqrt (9-x) = sqrt (u) i u = 9-x Sada ih moramo derivirati: F' (u) = u ^ (1/2) '= 1 / 2u ^ (- 1/2) Napišite izraz kao "lijepu" što je više moguće i dobivamo F' (u) = 1/2 * 1 / (u ^ (1/2)) = 1/2 * 1 / sqrt (u) moramo izračunati u 'u' = (9-x) '= - 1 Sada je jedino preostalo ispuniti sve što imamo, u formula f '(x) = F' (u) * u '= 1/2 * 1 / sqrt (u) * (- 1) = - 1/2 * 1 / sqrt (9-x)