Koja je minimalna vrijednost g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? na intervalu [-2,2]?

Odgovor:

Minimalna vrijednost je na # x = 1-sqrt 5 cca "-" 1.236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) cca "-" 0.405 #.

Obrazloženje:

U zatvorenom intervalu moguće su minimalne lokacije:

• lokalni minimum unutar intervala, ili
• krajnje točke intervala.

Stoga izračunavamo i uspoređujemo vrijednosti za #G (x) * u bilo kojem trenutku #x u "-2", 2 # to čini #G "(x) = 0 #, kao i na #x = "- 2" # i # X = 2 #.

Prvo: što je #G "(x) *? Koristeći pravilo kvocijenta, dobivamo:

#G "(x) = ((1), (x ^ 2 + 4) - (x-1), (2 x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#COLOR (bijeli) (g '(x)) = (x ^ 2 + 2 + 4-2x ^ 2 x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#COLOR (bijeli) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

To će biti jednako nuli kada je brojnik jednak nuli. Prema kvadratnoj formuli, dobivamo

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 približno {"-1.236", 3.236} #

Samo jedan od njih #x#-Vrijednosti su u #'-2',2#, i to je # x = 1-sqrt 5 #.

Sada računamo:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0.375 #

2. #g (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

#color (bijelo) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5-sqrt5)) * boja (plava) ((5 + 5) / (5+ kvadratnih 5)) #

#color (bijelo) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5) #

#color (bijelo) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) cca "-" 0,405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0,125 #

Uspoređujući ove tri vrijednosti #G (x) *, to vidimo #g (1-sqrt 5) # je najmanji. Tako # - (1+ sqrt 5) / 8 # je naša minimalna vrijednost za #G (x) * na #'-'2, 2#.