Koja je minimalna vrijednost g (x) = x / csc (pi * x) na intervalu [0,1]?

Odgovor:

Postoji minimalna vrijednost od #0# koji se nalaze na # X = 0 # i # X = 1 #.

Obrazloženje:

Prvo, možemo odmah napisati ovu funkciju kao

#G (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Prisjećajući se toga #csc (x) = 1 / sin (x) *.

Sada, da bismo pronašli minimalne vrijednosti u nekom intervalu, prepoznamo da se mogu pojaviti na krajnjim točkama intervala ili na bilo kojoj kritičnoj vrijednosti koja se pojavljuje unutar intervala.

Da bi pronašli kritične vrijednosti unutar intervala, izvedite funkciju jednaku #0#.

I, da bismo razlikovali funkciju, morat ćemo koristiti pravilo proizvoda. Primjena pravila proizvoda daje nam

#G "(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) *

Svaki od ovih derivata daje:

# D / dx (x) = 1 #

I, kroz pravilo lanca:

# D / dx (sin (pix)) = (cos retci) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = Picos (retci) #

Kombinirajući ovo, to vidimo

#G "(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Stoga će se kritične vrijednosti pojaviti kad god

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

Ne možemo to riješiti algebraički, stoga pomoću kalkulatora pronađite sve nule ove funkcije na zadanom intervalu #0,1#:

graf {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

Dvije kritične vrijednosti unutar intervala su na # X = 0 # i # Xapprox0.6485 #.

Dakle, znamo da je minimalna vrijednost #G (x) * može se pojaviti u #3# razna mjesta:

# X = 0 # ili # X = 1 #, krajnje točke intervala
# X = 0 # ili # X = 0,6485 #, kritične vrijednosti unutar intervala

Sada uključite svaku od tih mogućih vrijednosti u interval:

# {(G (0) = 0, boja (crvena) tekst (minimum)), (g (0,6485) = 0,5792, boja (plava) tekst (maksimalno)), (g (1) = 0, boja (crvena) tekst (minimum))} #

Budući da postoje dvije vrijednosti koje su jednako niske, postoje i minimumi oba # X = 0 # i # X = 1 #, Imajte na umu da iako smo prošli kroz pronalaženje problema # X = 0,6485 #, to nije bio ni minimum.

Graphed je #G (x) * na intervalu #0,1#:

graf {x / csc (pix) -05, 1.01, -.1,.7}

Također, imajte na umu da je minimalna vrijednost #0#, od #G (0) = g (1) = 0 #, Razlika je u tome # X = 0 # i # X = 1 # su lokacije minima.

Prosječna vrijednost funkcije v (x) = 4 / x2 na intervalu [[1, c] jednaka je 1. Koja je vrijednost c?

C = 4 Prosječna vrijednost: (int_1 ^ c (4 / x ^ 2) dx) / (c-1) int_1 ^ c (4 / x ^ 2) = [-4 / x] _1 ^ c = -4 / c + 4 Dakle, prosječna vrijednost je (-4 / c + 4) / (c-1) Rješavanje (-4 / c + 4) / (c-1) = 1 daje nam c = 4.

Koja je minimalna vrijednost g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? na intervalu [-2,2]?

Minimalna vrijednost je x = 1-sqrt 5 cca "-" 1.236; g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) cca "-" 0,405. Na zatvorenom intervalu moguća mjesta za minimum bit će: lokalni minimum unutar intervala ili krajnje točke intervala. Stoga izračunavamo i uspoređujemo vrijednosti za g (x) na bilo kojem x u ["-2", 2] koje čine g '(x) = 0, kao i na x = "- 2" i x = 2. Prvo: što je g '(x)? Koristeći pravilo kvocijenta dobijamo: g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 boja (bijela) ( g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 boja (bijela) (g' (x)) = - (

Koja je minimalna vrijednost g (x) = x ^ 2-2x - 11 / x? na intervalu [1,7]?

Funkcija se kontinuirano povećava u intervalu [1,7], a njegova minimalna vrijednost je x = 1. Očito je da x ^ 2-2x-11 / x nije definiran pri x = 0, ali je definiran u intervalu [1,7]. Sada je derivat od x ^ 2-2x-11 / x 2x-2 - (- 11 / x ^ 2) ili 2x-2 + 11 / x ^ 2 i pozitivan je tijekom [1,7] Dakle, funkcija je kontinuirano raste u intervalu [1,7] i kao takva minimalna vrijednost x ^ 2-2x-11 / x u intervalu [1,7] iznosi x = 1. graf {x ^ 2-2x-11 / x [-40, 40, -20, 20]}