Trokut A ima područje od 15 i dvije strane duljine 4 i 9. Trokut B je sličan trokutu A i ima stranu dužine 7. Koja su maksimalna i minimalna moguća područja trokuta B?

Odgovor:

Postoji moguća treća strana #11.7# u trokutu A. Ako se to poveća na sedam, dobit ćemo minimalnu površinu od # 735 / (97 + 12 sqrt (11)) #.

Ako je dužina stranice #4# skalirano na #7# dobili bismo maksimalnu površinu od #735/16.#

Obrazloženje:

To je možda još teži problem nego što se prvi put pojavi. Bilo tko zna kako pronaći treću stranu, za koju se čini da nam je potreban ovaj problem? Normalni trigonometrijski uobičajeni čini nas izračunavanjem kutova, čineći aproksimaciju tamo gdje nitko nije potreban.

To se zapravo ne uči u školi, ali najlakši je način Arhimedova teorema, suvremeni oblik Heronove teoreme. Nazovimo A područje # S # i povežite ga sa stranama A # A, b # i # C. #

# 16A ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

# C # pojavljuje se samo jednom, tako da je to naše nepoznato. Riješimo se za to.

# (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - 16 A ^ 2 #

# c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 pm sqrt {4 a ^ 2 b ^ 2 - 16A ^ 2} #

Imamo # A = 15, a = 4, b = 9. #

# c ^ 2 = 4 ^ 2 + 9 ^ 2 pm sqrt {4 (4 ^ 2) (9 ^ 2) - 16 (15) ^ 2} = 97 pm sqrt {1584} #

#c = sqrt {97 pm 12 sqrt {11}} #

#c približno 11.696 ili7.563 #

To su dvije različite vrijednosti za # C #, od kojih bi svaki trebao stvoriti trokut područja #15#, Znak plus koji nas zanima jer je veći od ostalih dviju strana.

Za maksimalnu površinu, maksimalno skaliranje, to znači da je najmanja strana skala #7#, za faktor razmjera od #7/4# tako da novo područje (koje je proporcionalno kvadratu faktora skale) od #(7/4)^2(15) = 735/16#

Za minimalno područje najveće bočne ljestvice #7# za novo područje

# 15 (7 / (sqrt {97 + 12 sqrt {11}})) ^ 2 = 735 / (97 + 12 sqrt (11)) #