Što je integral sqrt (9-x ^ 2)?

Kad god vidim takve funkcije, prepoznajem (prakticirajući puno) da ovdje trebate koristiti posebnu zamjenu:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

Ovo bi moglo izgledati kao čudna zamjena, ali vidjet ćete zašto to radimo.

#dx = 3cos (u) du #

Zamijenite sve u integralu:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

Možemo donijeti 3 iz integralnog:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Možete uzeti u obzir 9 od:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Znamo identitet: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Ako riješimo za # Cosx #, dobivamo:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

To je upravo ono što vidimo u integralu, tako da ga možemo zamijeniti:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Možda znate da je ovo osnovni antiderivative, ali ako to ne učinite, možete to shvatiti tako:

Koristimo identitet: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (ovo možete riješiti zamjenom)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

Sad, sve što moramo učiniti je staviti # U # u funkciju. Pogledajmo sada kako smo to definirali:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = sin (u) #

Dobiti # U # od toga, morate uzeti inverznu funkciju #grijeh# na obje strane, ovo je # Arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Sada ga moramo umetnuti u naše rješenje:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

To je konačno rješenje.