Koliki je opseg pravilnog osmerokuta s radijusom duljine 20?

Odgovor:

Ovisi:

Ako je unutarnji radijus #20#, onda je perimetar:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132,55 #

Ako je vanjski radijus #20#, onda je perimetar:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~ ~ 122,46 #

Obrazloženje:

Ovdje crveni krug okružuje vanjski radijus, a zeleni krug unutarnji.

pustiti # R # biti vanjski radijus - to je radijus crvenog kruga.

Tada su vrhovi osmerokuta centrirani na #(0, 0)# su na:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

Duljina jedne strane je udaljenost između # (r, 0) # i # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2+ (r / sqrt (2)) ^ 2) *

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Dakle, ukupni opseg je:

#color (crveno) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

Dakle, ako je vanjski radijus #20#, onda je perimetar:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~ ~ 122,46 #

#COLOR (bijeli) () #

Unutarnji radijus će biti # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Tako #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Tada je ukupni perimetar

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = Boja (zeleno) (16r_1 (sqrt (2) -1)) *

Dakle, ako je unutarnji radijus #20#, onda je perimetar:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

#COLOR (bijeli) () #

Koliko je dobra procjena # Pi # ovo nam daje?

Dok smo ovdje, za koju procjenu # Pi # dobivamo li usrednjavanjem unutarnjeg i vanjskog radijusa?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3,1876 #

… pa nije super.

Da bi dobili što bolju aproksimaciju #355/113 ~~ 3.1415929#, kineski matematičar Zu Chongzhi koristio je a #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) jednostrani poligon i brojne šipke.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi