Kako rješavate nejednakost 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

Odgovor:

#x <- 5/2 boja (bijelo) (xx) # ili # boja (bijela) (xx) -1 <x <2 #

Obrazloženje:

Prije svega, imajte na umu da je vaša nejednakost definirana samo ako vaši denominatori nisu jednaki nuli:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Sada bi vaš sljedeći korak bio "riješiti se" frakcija. To se može učiniti ako množite obje strane s nejednakostima # x + 1 # i # x-2 #.

Međutim, morate biti oprezni jer ako množite nejednakost s negativnim brojem, morate okrenuti znak nejednakosti.

=========================================

Razmotrimo različite slučajeve:

slučaj 1: #color (bijelo) (xxx) x> 2 #:

Oba #x + 1> 0 # i #x - 2> 0 # držati. Tako dobivate:

#x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… izračunati # -3x # i #+2# na obje strane…

# -2x> 5 #

… podijelite s #-2# na obje strane. Kao #-2# je negativan broj, morate preokrenuti znak nejednakosti …

#x <- 5/2 #

Međutim, nema #x# koji zadovoljava oba uvjeta #x> 2 # i #x <- 5/2 #, Stoga u ovom slučaju ne postoji rješenje.

=========================================

slučaj 2: #color (bijelo) (xxx) -1 <x <2 #:

Ovdje, #x + 1> 0 # ali #x - 2 <0 #, Dakle, morate jednom preokrenuti znak nejednakosti i dobiti:

# boja (bijela) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (bijelo) (x) -2x <5 #

… podijelite s #-2# i ponovno okrenite znak nejednakosti …

#color (bijelo) (xxx) x> -5 / 2 #

Nejednakost #x> -5 / 2 # je istina za sve #x# u intervalu # -1 <x <2 #, Dakle, u ovom slučaju imamo rješenje # -1 <x <2 #.

=========================================

slučaj 3: #color (bijelo) (xxx) x <-1 #:

Ovdje su oba denominatora negativna. Dakle, ako nejednakost pomnožite s oba, morate dvaput okrenuti znak nejednakosti i dobiti ćete:

#x - 2> 3x + 3 #

#color (bijelo) (i) -2x> 5 #

# boja (bijela) (xxi) x <- 5/2 #

Kao uvjet #x <-5 / 2 # je restriktivniji od stanja #x <-1 #, rješenje za ovaj slučaj je #x <- 5/2 #.

=========================================

Ukupno, rješenje je

#x <- 5/2 boja (bijelo) (xx) # ili # boja (bijela) (xx) -1 <x <2 #

ili, ako želite drukčiji zapis,

#x u (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Odgovor:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

Obrazloženje:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) *

neka prođe sve do lijeve strane nejednakosti oduzimanjem # 3 / (x-2) *:

# 1 / (1 + x) -3 / (x-2),> 0 #

Sada moramo staviti svu nejednakost u isti nazivnik. Dio s (x + 1) pomnožimo s # (X-2) / (x-2) * (što je 1!) i obratno:

# (X-2) / ((x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (x-2)),> 0 #

Napravili smo trik prije, da imamo svu nejednakost s istim nazivnikom:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (x-2)),> 0 #.

# (X + 1) (x-2) * odgovara paraboli koja daje pozitivne vrijednosti u intervjuu # -oo, -1 uu 2, + oo # i negativne vrijednosti u intervalu #-1, 2#, Zapamtite da x ne može biti -1 ili 2 zbog davanja denominatora nuli.

U prvom slučaju (pozitivni nazivnik) nejednakost možemo pojednostaviti u:

# -2 x-5> 0 # i #x in -oo, -1 uu 2, + oo #

koji daje:

#x <-5/2 # i #x in -oo, -1 uu 2, + oo #.

Prekrivanje gore navedenih intervala daje #x <-5/2 #.

U drugom slučaju, nazivnik je negativan, tako da za rezultat koji daje pozitivan broj, numerator mora biti negativan:

# -2 x-5 '0 # i # x in -1, 2 #

koji daje

#x> -5/2 #, i # x in -1, 2 #

Omogućuje se presretanje intervala # x in -1, 2 #

Pridruživanjem rješenjima dvaju slučajeva dobivamo:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #