Dva broja se razlikuju za 3. Zbroj njihovih reciproča je sedam desetina. Kako ste pronašli brojeve?

Odgovor:

Postoje dva rješenja problema:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Obrazloženje:

To je tipičan problem koji se može riješiti sustavom od dvije jednadžbe s dvije nepoznate varijable.

Neka prva nepoznata varijabla bude #x# i drugi # Y #.

Razlika je u tome #3#, što rezultira jednadžbom:

(1) # x-y = 3 #

Njihovi reciprociali su # 1 / x # i # 1 / y #, čiji je zbroj #7/10#, što rezultira jednadžbom:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

Usput, postojanje uzajamnosti zahtijeva ograničenja:

#x! = 0 # i #Y! = 0 #.

Da bismo riješili ovaj sustav, upotrijebimo metodu supstitucije.

Iz prve jednadžbe možemo izraziti #x# u smislu # Y # i zamjena u drugu jednadžbu.

Iz jednadžbe (1) možemo izvesti:

(3) #x = y + 3 #

Zamijenite ga u jednadžbu (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

Usput, to zahtijeva druga ograničenja:

# Y + 3! = 0 #, to je #Y = - 3 #.

Korištenje zajedničkog nazivnika # 10y (y + 3) * i uzimajući u obzir samo numeratore, transformiramo jednadžbu (4) u:

# 10y + 10 (y + 3) 7y-(y + 3) *

Ovo je kvadratna jednadžba koja se može prepisati kao:

# 20Y + 30 = 7y ^ 2 + 21y # ili

# 7y ^ 2 + y = 30 0 #

Dva rješenja ove jednadžbe su:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

ili

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Dakle, imamo dva rješenja za # Y #:

# Y_1 = 2 # i # Y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

Sukladno tome, koristite # X = y + 3 #, zaključujemo da postoje dva rješenja sustava:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

U oba slučaja #x# je veći od # Y # po #3#, tako da je prvi uvjet problema zadovoljen.

Provjerimo drugi uvjet:

(a) za rješenje # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - označeno

(b) za rješenje # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - označeno

Oba rješenja su točna.