Koji su lokalni ekstremi, ako ih ima, od f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Odgovor:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # ima lokalni minimum za # X = 1 # i lokalni maksimum za # 3 x = #

Obrazloženje:

Imamo:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

funkcija je definirana u svim # RR # kao # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Možemo identificirati kritične točke pronalaskom gdje je prvi derivat jednak nuli:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + 1 #

tako su kritične točke:

# x_1 = 1 # i # x_2 = 3 #

Budući da je nazivnik uvijek pozitivan, znak je #F "(x) * je suprotno od znaka brojnika # (X ^ 2-4 * + 3) *

Sada znamo da je polinom drugog reda s pozitivnim vodećim koeficijentom pozitivan izvan intervala između korijena i negativnog u intervalu između korijena, tako da:

#f '(x) <0 # za #x u (-oo, 1) # i #x u (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # za #x u (1,3) #

Imamo to #F (x) * se smanjuje u # (- oo, 1) #, povećanje u #(1,3)#i opet se smanjuje # (3 + oo) #, tako da # x_1 = 1 # mora biti lokalni minimum i # X_2 = 3 # mora biti lokalni maksimum.

graf {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1.42, 8.58, -0.08, 4.92}