Koje je područje trapeza čiji dijagonale ima po 30 i čija je visina 18?

Odgovor:

#S_ (trapezoid) = 432 #

Obrazloženje:

Razmotrite sliku 1. t

U trapezoidnom ABCD koji zadovoljava uvjete problema (gdje # BD = AC = 30 #, # DP = 18 #, i AB je paralelan s CD-om), primjećujemo, primjenjujući alternativnu teoremu unutarnjih kutova # A = delta # i # P = y #.

Ako nacrtamo dvije linije okomito na segment AB, formirajući segmente AF i BG, to možemo vidjeti #triangle_ (AFC) - = triangle_ (BDG) # (jer su oba trokuta ispravna i znamo da je hipotenuza jednog jednaka hipotenuzi druge i da je noga jednog trokuta jednaka nozi drugog trokuta) # Alfa = beta # => # Y = delta #.

Od # Y = delta # to možemo vidjeti #triangle_ (ABD) - = triangle_ (ABC) # i # AD = BC #, stoga je trapez jednakokračan.

To također možemo vidjeti #triangle_ (ADP) - = triangle_ (BCQ) # => # AP = BQ # (ili # X = y # na slici 2).

Razmotrite sliku 2. t

Možemo vidjeti da trapez na slici 2 ima drugačiji oblik nego onaj na slici 1, ali oba zadovoljavaju uvjete problema. Predstavio sam ove dvije brojke kako bih pokazao da informacija o problemu ne dopušta određivanje veličine baze 1 (# M #) i baze 2 (# # N) trapeza, ali vidjet ćemo da nema potrebe za više informacija za izračun površine trapeza.

U #triangle_ (BDP) #

# DB ^ 2-DP ^ 2 + BP ^ 2 # => # 30 ^ 2 = 18 ^ 2 + (x + m) ^ 2 # => # (X + m) ^ 2 = 900-324 = 576 # => # x + m = 24 #

Od # n = m + x + y # i # X = y # => # n = m + 2 * X # i # M + n = m + m + 2 * x = 2 * (x + m) = 2 * 24 # => # M + n = 48 #

#S_ (trapezoid) = (+ base_1 base_2) / 2 x visina = (m + n) / 2 x 18 = (48 * 18) / 2 = 432 #

Napomena: mogli bismo pokušati odrediti m i n konjugirajući ove dvije jednadžbe:

U #triangle_ (ADP) -> AD ^ 2 = AP ^ 2 + h ^ 2 # => # AD ^ 2 = (24 m) ^ 2 + 18 ^ 2 #

U #triangle_ (ABD) -> AD ^ 2 = AB ^ 2 + BD ^ 2-2 * AB * BD * cos delta # => # AD ^ 2-m ^ 2 + 30 ^ * 2-2 m * 30 * (4/5) #

(#cos delta = 4/5 # jer #sin delta = 18/30 = 3/5 #)

Ali rješavajući ovaj sustav od dvije jednadžbe, to bismo samo otkrili m i sa strane OGLAS su neodređeni.