Kako mogu riješiti 2sinx = cos (x / 3)?

Odgovor:

Naša približna rješenja su:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, ili -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

za cijeli broj # K #.

Obrazloženje:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Ovo je prilično teško.

Počnimo postavljanjem # Y = x / 3 # tako # x = 3y # i zamjena. Tada možemo koristiti formulu trostrukog kuta:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Hajdemo kvadrati pa ćemo sve napisati # sin ^ 2 y #, To će vjerojatno dovesti do nepotrebnih korijena.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

pustiti # s = sin ^ 2 y #, Pozivaju se kvadratni sinusi namazi u Rational Trigonometry.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

To je kubična jednadžba s tri stvarna korijena, kandidati za kvadratne sines od # 3x. # Možemo upotrijebiti kubičnu formulu, ali to će samo dovesti do nekih kockastih korijena složenih brojeva koji nisu osobito korisni. Uzmimo samo numeričko rješenje:

# s 0.66035 ili s 0.029196 ili s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Radimo u stupnjevima. Naša potencijalna približna rješenja su:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) oko 163.058 ^ circ ili 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) otprilike 29.5149 ^ kružni ili 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) oko 192.573 ^ circ ili pm 732.573 ^ circ #

Da vidimo hoće li išta od toga raditi. pustiti #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) približno 0.00001 quad # to je rješenje.

#e (-163.058) kruga) cca -1.17 quad # ne rješenje.

Jasno je najviše jedan od # Pm # par će raditi.

Još deset.

#e (703.058 ^ circ) oko 0.00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # nope

#e (29.5149 ^ circ) oko 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # nope

#e (569,51) krug) oko 10 ^ {- 4} četvornih kvadrata #

#e (-569.51 ^ circ) quad # nope

#e (192.573) kruga) približno -8.7 quad # nope

#e (-192.573) kruga) približno 0.00001 četvornih metara kvadratnih #

#e (732.573) kruga) cca -8.7 quad # nope

#e (-732.573) kruga) približno 0.00001 četvornih metara kvadratnih #

Arcsin dolazi s # + 360 ^ circ k #, a faktor od tri to čini # 1080 ^ circ k. #

OK, naša približna rješenja su:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # za cijeli broj # K #.