Kako koristite test usporedbe granica za sum 1 / (n + sqrt (n)) za n = 1 do n = oo?

Odgovor:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) * to se može vidjeti usporedbom #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

Obrazloženje:

Budući da je ova serija zbroj pozitivnih brojeva, moramo pronaći ili konvergentni niz #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # tako da #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) * i zaključiti da je naša serija konvergentna, ili moramo pronaći takvu divergentnu seriju #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) * i zaključiti da su naše serije također različite.

Napominjemo sljedeće:

Za

#N> = 1 #, #sqrt (n) <n #.

Stoga

# N + sqrt (n) <= 2n #.

Tako

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Budući da je dobro poznato #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # divergira, tako #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # također odstupa, jer ako bi se konvergirala, onda # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # i konvergirati, a to nije slučaj.

Sada pomoću testa usporedbe to vidimo #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) * odstupa.

Test usporedbe limita traje dvije serije, # Suma_n # i # Sumb_n # gdje #a_n> = 0 #, # B_ngt0 #.

Ako #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = l # gdje #L> 0 # i je konačan, tada ili obje serije konvergiraju ili se obje serije razlikuju.

Trebali bismo pustiti # A_n = 1 / (n + sqrtn) #, slijed iz dane serije. Dobro # B_n # izbor je prevladavajuća funkcija # A_n # pristupa kao # # N postaje velika. Dakle, neka # B_n = 1 / n #.

Zapamtite to # Sumb_n # divergira (to je harmonijska serija).

Dakle, to vidimo #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #, Nastavak dijeljenja putem # N / n #, to postaje #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Budući da je ograničenje #1#, koji je #>0# i definirali, to vidimo # Suma_n # i # Sumb_n # će se i razlikovati ili konvergirati. Budući da već znamo # Sumb_n # razilazimo, možemo to zaključiti # Suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # također se razlikuje.