Što je projekcija (3i + 2j - 6k) na (3i - 4j + 4k)?

Odgovor:

Vektorska projekcija je #< -69/41,92/41,-92/41 >#, skalarna projekcija je # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Obrazloženje:

dan # Veca = (3i + 2j-6k) # i # vecb = (3i-4j + 4k) #, možemo pronaći #proj_ (vecb) Veca #, vektor projekcija # Veca # na # Vecb # koristeći sljedeću formulu:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

To jest, točkovni proizvod dva vektora podijeljen veličinom # Vecb #, pomnoženo s # Vecb # podijeljena veličinom. Druga količina je vektorska veličina, budući da vektor dijelimo pomoću skalara. Imajte na umu da dijelimo # Vecb # svojom veličinom kako bi se dobila a jedinični vektor (vektor s veličinom #1#). Možda ćete primijetiti da je prva količina skalarna, kao što znamo da kada uzmemo točkasti proizvod dvaju vektora, rezultanta je skalar.

Dakle, skalar projekcija # S # na # B # je #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, također napisano # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Možemo početi uzimajući točkovni proizvod dvaju vektora, koji se mogu zapisati kao # veca = <3,2, -6> # i # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Tada možemo pronaći veličinu # Vecb # uzimanjem kvadratnog korijena od zbroja kvadrata svake komponente.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) *

# => Sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

I sada imamo sve što je potrebno za pronalaženje vektorske projekcije # Veca # na # Vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Koeficijent možete raspodijeliti na svaku komponentu vektora i napisati kao:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

Skalarna projekcija # Veca # na # Vecb # je samo prva polovica formule, gdje #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, Stoga je skalarna projekcija # -23 / sqrt (41) #, što ne pojednostavljuje dalje, osim racionalizacije nazivnika ako se želi, davanje # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Nadam se da pomaže!