Kako ste pronašli prva tri termina Maclaurinove serije za f (t) = (e ^ t - 1) / t koristeći Maclaurinov niz e ^ x?

Znamo da je Maclaurinov niz # E ^ x # je

#sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) #

Također možemo izvesti ovu seriju pomoću Maclaurinove ekspanzije #F (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) # i činjenicu da svi derivati # E ^ x # je još uvijek # E ^ x # i # E ^ 0 = 1 #.

Sada, samo zamijenite gornju seriju u

# (E ^ x-1) / x #

# = (Sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n)) - 1) / x #

# = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n)) - 1) / x #

# = (Sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X #

# = Sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) #

Ako želite da indeks počne # I = 0 #, jednostavno zamjena # N = i + 1 #:

# = Sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1)!) #

Sada procijenite prva tri pojma

# ~~ 1 + x / 2 + x ^ 2/6, #

R_ ("th") izraz geometrijske serije je (2r + 1) cdot 2 ^ r. Zbroj prvih n termina serije je što?

(4n-2) * 2 ^ n + 3 S = sum_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + sum_ {r = 0} ^ n 2 ^ r S = sum_ {r = 1} ^ nr * 2 ^ (r + 1) + (1 - 2 ^ {n + 1}) / (1 - 2) S = a_ {01} (1 - 2 ^ n) / (1 - 2) + ... + a_ { 0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1 - 2) + 2 ^ {n + 1} - 1 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 4 S = sum_ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i + 2} (2 ^ (n - i) - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 sum_ {i = 0} ^ {n-1} (2 ^ n - 2 ^ i) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 * 2 ^ n * n - 4 * (2 ^ n - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = (4n - 2) * 2 ^ n + 3 Provjerimo S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdots S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdotovi S (0)

Drugi i peti pojam geometrijske serije su 750 i -6. Pronaći zajednički omjer serije i prvog termina?

R = -1 / 5, a_1 = -3750 Boja (plava) "n-ti pojam geometrijskog slijeda" je. boja (crvena) (bar (ul (| (boja (bijela) (2/2) boja (crna) (a_n = ar ^ (n-1)) boja (bijela) (2/2) |))) gdje je a prvi pojam i r, zajednički omjer. rArr "drugi pojam" = ar ^ 1 = 750 do (1) rArr "peti pojam" = ar ^ 4 = -6 do (2) Da bismo pronašli r, podijelimo (2) s (1) rArr (poništi (a) r ^ 4 ) / (poništi (a) r) = (- 6) / 750 rArrr ^ 3 = -1 / 125rArrr = -1 / 5 Zamijenite ovu vrijednost u (1) kako biste pronašli rArraxx-1/5 = 750 rArra = 750 / (-1/5) = - 3750

Prvi pojam geometrijskog slijeda je 200, a zbroj prva četiri termina je 324,8. Kako ste pronašli zajednički omjer?

Zbroj bilo kojeg geometrijskog slijeda je: s = a (1-r ^ n) / (1-r) s = zbroj, a = početni termin, r = zajednički omjer, n = broj pojma ... Dajemo s, a, i n, tako da ... 324.8 = 200 (1-r ^ 4) / (1-r) 1.624 = (1-r ^ 4) / (1-r) 1.624-1.624r = 1-r ^ 4 r ^ 4-1.624r + .624 = 0 r- (r ^ 4-1.624r + .624) / (4r ^ 3-1.624) (3r ^ 4-.624) / (4r ^ 3-1.624). .5, .388, .399, .39999999, .3999999999999999 Dakle, granica će biti .4 ili 4/10 Tako je vaš uobičajeni omjer 4/10 provjera ... s (4) = 200 (1- (4 / 10) ^ 4)) / (1- (4/10)) = 324,8