Što je projekcija <0, 1, 3> na <0, 4, 4>?

Odgovor:

Vektorska projekcija je #< 0,2,2 >#, skalarna projekcija je # 2sqrt2 #, Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

dan # veca = <0,1,3> # i # vecb = <0,4,4> #, možemo pronaći #proj_ (vecb) Veca #, vektor projekcija # Veca # na # Vecb # koristeći sljedeću formulu:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

To jest, točkovni proizvod dva vektora podijeljen veličinom # Vecb #, pomnoženo s # Vecb # podijeljena veličinom. Druga količina je vektorska veličina, budući da vektor dijelimo pomoću skalara. Imajte na umu da dijelimo # Vecb # svojom veličinom kako bi se dobila a jedinični vektor (vektor s veličinom #1#). Možda ćete primijetiti da je prva količina skalarna, kao što znamo da kada uzmemo točkasti proizvod dvaju vektora, rezultanta je skalar.

Dakle, skalar projekcija # S # na # B # je #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, također napisano # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Možemo početi uzimajući točkasti proizvod dvaju vektora:

# veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4> #

#=> (0*0)+(4*1)+(4*3)#

#=>0+4+12=16#

Tada možemo pronaći veličinu # Vecb # uzimanjem kvadratnog korijena od zbroja kvadrata svake komponente.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2) *

# => Sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32) #

I sada imamo sve što je potrebno za pronalaženje vektorske projekcije # Veca # na # Vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32) #

#=>(16 < 0,4,4 >)/32#

#=>(< 0,4,4 >)/2#

#=>< 0,2,2 >#

Skalarna projekcija # Veca # na # Vecb # je samo prva polovica formule, gdje #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, Stoga je skalarna projekcija # 16 / sqrt (32) #, što dodatno pojednostavljuje # 2sqrt2 #, U nastavku sam prikazao pojednostavljenje.

# 16 / sqrt (32) #

# => 16 / sqrt (16 x 2) #

# => 16 / (4 * sqrt2) #

# => 4 / sqrt2 #

# => (4 x sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2) #

# => (4sqrt2) / 2 #

# => 2sqrt2 #

Nadam se da pomaže!