Kako dokazati: secx - cosx = sinx tanx?

Koristeći definicije od # Secx # i # Tanx #, zajedno s identitetom

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, imamo

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2 x) / cosx #

# = Sin ^ 2 x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = Sinxtanx #

Odgovor:

Prvo pretvorite sve pojmove u # Sinx # i # Cosx #.

Druga primjenjiva pravila zbroja frakcija na LHS.

Konačno primjenjujemo Pitagorejski identitet: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Obrazloženje:

Prvo u pitanjima ovih oblika dobra je ideja pretvoriti sve pojmove u sinus i kosinus: pa zamijenite #tan x # s #sin x / cos x #

i zamijenite #sec x # s # 1 / cos x #.

LHS, #sec x- cos x # postaje # 1 / cos x-cos x #.

RHS, # sin x tan x # postaje #sin x sin x / cos x # ili # sin ^ 2 x / cos x #.

Sada primjenjujemo pravila zbroja frakcija na LHS, čineći zajedničku bazu (baš kao i frakcija brojeva #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x-cos x => 1 / cos x-cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Konačno primjenjujemo Pitagorejski identitet: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (jedan od najkorisnijih identiteta za ove vrste problema).

Preraspodjelom dobivamo # 1- cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Zamjenjujemo # 1- cos ^ 2 x # u LHS-u # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # koji je jednak modificiranom RHS.

Tako je LHS = RHS Q.E.D.

Primijetite da ovaj opći obrazac dobivanja stvari u smislu sinusa i kosinusa, koristeći pravila frakcija i pitagorejski identitet, često rješava ove vrste pitanja.

Ako to želimo, možemo promijeniti i desnu stranu kako bi odgovarala lijevoj strani.

Trebamo pisati # Sinxtanx # u smislu # Sinx # i # Cosx #, koristeći identitet #COLOR (crveno) (tanx = sinx / cosx) #:

# Sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Sada koristimo Pitagorejski identitet, to jest # Grijeh ^ 2x + cos ^ 2 x = 1 #, Možemo to modificirati za rješavanje # Grijeh ^ 2x #, dakle: #COLOR (crveno) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# Sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2 x) / cosx #

Sada podijelite brojnik:

# (1-cos ^ 2 x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Koristite uzajamni identitet #COLOR (crveno) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Odgovor:

To je stvarno tako jednostavno …

Obrazloženje:

Korištenje identiteta # Tanx = sinx / cosx #, pomnožite # Sinx # na identitet da biste dobili:

# Secx-cosx = sin ^ 2 x / cosx #

Zatim, pomnožite # Cosx # kroz jednadžbu za prinos:

# 1-cos ^ 2 x = sin ^ 2x #

S obzirom na to # Secx # je inverzna # Cosx #.

Konačno, koristeći trigonometrijski identitet # 1-cos ^ 2 x = sin ^ 2x #, konačni odgovor bi bio:

# Grijeh ^ 2x = sin ^ 2x #