Odgovor:
Ne mislim da je jednadžba valjana. Pretpostavljam #abs (z) # je funkcija apsolutne vrijednosti
Obrazloženje:
Pokušajte s dva pojma, # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
Stoga
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + ABS (z_n) #
Možda mislite na nejednakost trokuta za složene brojeve:
# | z_1 + z_2 + … + z_n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Možemo ovo skratiti
# | sum z_i | le sum | z_i | #
gdje su iznosi #sum_ {i = 1} ^ n #
Lema. # tekst {Re} (z) le | z | #
Stvarni dio nikada nije veći od veličine. pustiti # Z = x + Iy # za neke stvarne #x# i # Y #, Jasno # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # i uzimajući kvadratne korijene # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #, Magnituda je uvijek pozitivna; #x# može ili ne mora biti; u svakom slučaju, nikada nije više od veličine.
Koristit ću overbaru za konjugat. Ovdje imamo pravi broj, kvadrat magnitude, koji je jednak proizvodu konjugata.Trik je u tome što je jednak njegovom stvarnom dijelu. Stvarni dio zbroja je zbroj stvarnih dijelova.
# | sum z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = tekst {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i tekst {Re} (z_i bar (sum_j z_j)) #
Prema našoj lemi, a veličina proizvoda je produkt magnitude, a veličina konjugata jednaka,
# | sum z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Možemo poništiti jedan faktor veličine tog iznosa # | sum z_i | #, što je pozitivno, zadržavajući nejednakost.
# | sum z_i | le sum | z_i | #
To smo htjeli dokazati.
