Kako pronaći derivat y = Arcsin ((3x) / 4)?

Odgovor:

# dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Obrazloženje:

Morat ćete koristiti pravilo lanca. Sjetite se da je formula za to:

#f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) #

Ideja je da najprije uzmete izvedenicu vanjske funkcije, a zatim samo napravite svoj put unutra.

Prije nego počnemo, identificiramo sve naše funkcije u ovom izrazu. Imamo:

• #arcsin (x) *

• # (3 x) / 4 #

#arcsin (x) * je najudaljenija funkcija, tako da ćemo početi uzimajući derivat toga. Tako:

# dy / dx = boja (plava) (d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) #

Primijetite kako to i dalje čuvamo # ((3 x) / 4) * unutra. Zapamtite, kada se koristi lančano pravilo, razlikujete se izvan njega, ali još uvijek zadržati unutarnje funkcije kada razlikujemo vanjske.

# (3 x) / 4 # je naša sljedeća najudaljenija funkcija, pa ćemo morati označiti i derivat toga. Tako:

# boja (siva) (dy / dx = d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) * boja (plava) (d / dx) ((3 x) / 4)) *

# => dy / dx = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)) * (3/4) #

I to je kraj računa o ovom problemu! Ostaje samo pojednostavljenje kako bi se ovaj izraz uredio, a završavamo s:

# => dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Ako želite dodatnu pomoć u vezi pravila o lancu, preporučujem vam da pogledate neke od mojih videozapisa na tu temu:

Nadam se da je to pomoglo:)

Odgovor:

S obzirom na: # boja (plava) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

#color (zelena) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #

Obrazloženje:

S obzirom na:

# boja (plava) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Sastav funkcije primjenjuje jednu funkciju na rezultate drugog:

Primijetite da je argument trigonometrijske funkcije #sin ^ (- 1) ("") # također je funkcija.

Pravilo lanca je pravilo za razlikovanje sastav funkcija kao onaj koji imamo.

Pravilo lanca:

#color (crvena) (dy / (dx) = (dy / (du)) * ((du) / (dx)) (ili)

#color (plava) (d / (dx) f {g (x)} = f 'g (x) * g' x #

Dobili smo

# boja (plava) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Neka, #f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" i "" u = (3x) / 4 #

#COLOR (zeleno) (Step.1 #

Razlikovat ćemo

#f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" # Function.1

koristiti zajednički izvedeni rezultat:

# boja (smeđa) (d / (dx) sin ^ (- 1) (x) = 1 / sqrt (1-x ^ 2 #

Koristeći gore navedeni rezultat možemo razlikovati Function.1 gore kao

# d / (du) sin ^ (- 1) (u) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) Result.1

#COLOR (zeleno) (Step.2 #

U ovom koraku razlikovat ćemo unutar funkcije # (3 x) / 4 #

# D / (dx) ((3 x) / 4) *

Izvucite konstantu

#rArr 3/4 * d / (dx) (x) #

#rArr 3/4 * 1 #

#rArr 3/4 #

#:. d / (dx) ((3x) / 4) = 3/4 "" #Result.2

#COLOR (zeleno) (Step.3 #

Koristit ćemo dva srednji rezultati, Result.1 i Result.2 nastaviti.

Počećemo s, #color (zeleno) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) * (3/4) #

Zamijenite natrag #COLOR (smeđe) (u = ((3 x) / 4) *

Zatim, #color (zelena) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) * (3/4) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((9x ^ 2) / 16)) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / 16) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / (4 ^ 2)) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2)) / (sqrt ((4 ^ 2))) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * 4 #

#rArr (3 / otkazati 4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * otkazati 4 #

#rArr 3 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) #

Stoga se naš konačni odgovor može napisati kao

#color (zelena) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #