Koja je površina čvrstog tijela stvorenog obrtanjem f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x u [1,3] oko x osi?

Odgovor:

Odredite znak, a zatim se integrirajte po dijelovima. Područje je:

# A = 39,6345 #

Obrazloženje:

Morate znati je li #F (x) * je negativan ili pozitivan u #1,3#, Stoga:

# XE ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ X-e ^ x) *

Da biste odredili znak, drugi čimbenik bit će pozitivan kada:

# E ^ x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# E ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Od # E ^ x> 0 # za bilo koji #x u (-oo, + oo) # nejednakost se ne mijenja:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2 x)> 0 #

# ^ E (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Dakle, funkcija je pozitivna samo ako je x negativna i obratno. Budući da postoji i jedan #x# faktor u #F (x) *

#F (x) = x (e ^ X-e ^ x) *

Kada je jedan faktor pozitivan, drugi je negativan, tako da je f (x) uvijek negativna, Stoga, područje:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (Xe ^ X-XE ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ ^ 3xe -xdx + int_1 ^ ^ 3xe xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ X) ") dx + int_1 ^ 3x (e ^ x) dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) dx + int_1 ^ 3x (e ^ x) dx #

# A = XE ^ -X _1 ^ 3 ^ 3 int_1 (x) e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) e ^ xdx #

# A = XE ^ -X _1 ^ 3 ^ int_1 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ ^ 1 ^ 3-int_1 3e ^ xdx #

# A = XE ^ -X _1 ^ 3 - - ^ e -X _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1H * e ^ 1) + (e ^ 3-e ^ 1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ ^ 1 3e) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Korištenjem kalkulatora:

# A = 39,6345 #

Odgovor:

Površina = 11.336,8 kvadratnih jedinica

Obrazloženje:

dano #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

zbog jednostavnosti #F (x) = y #

i # y = xe ^ -x -xe ^ x #

prvi derivat # Y '# potrebna je u izračunu površine.

područje # = 2pi int_1 ^ 3 y # # DS #

gdje # DS ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # DX #

područje # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # DX #

Odredite prvi derivat # Y '#:

razlikovati # y = x (e ^ -x - e ^ x) # pomoću derivatne formule proizvoda

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

nakon pojednostavljenja i faktoringa, rezultat je

prvi derivat # Y '= e ^ X * (1-x) -e ^ x * (1 + x) *

Izračunaj sada područje:

Površina = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # DS #

područje # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # DX #

područje

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # DX #

Za komplicirane integrale kao što je ovaj, možemo koristiti Simpsonovo pravilo:

tako da

područje

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # DX #

Površina = -11,336.804

to uključuje smjer okretanja tako da može biti negativna površina ili pozitivna površina. Razmotrimo samo pozitivnu vrijednost Area = 11336.804 kvadratnih jedinica