Koji su apsolutni ekstremi f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) u [2,9]?

Odgovor:

Apsolutni minimum je # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# što se događa kada # X = 9 #.

Apsolutni maksimum je # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # što se događa kada # X = 2 #.

Obrazloženje:

Apsolutni ekstremi funkcije su najveće i najmanje y-vrijednosti funkcije na danoj domeni. Ta nam se domena može dati (kao u ovom problemu) ili može biti domena same funkcije. Čak i kad smo dobili domenu, moramo uzeti u obzir domenu same funkcije, u slučaju da isključuje bilo koju vrijednost domene koju smo dali.

#F (x) * sadrži eksponent #1/3#, što nije cijeli broj. Srećom, domena #p (x) = root3 (x) # je # (- oo, oo) # pa ta činjenica nije problem.

Međutim, još uvijek moramo uzeti u obzir činjenicu da nazivnik ne može biti jednak nuli. Nazivnik će biti jednak nuli kada #x + = - (1/3) = - (sqrt (3) / 3) *, Ni jedna od tih vrijednosti ne leži u danoj domeni #2,9#.

Stoga se okrećemo pronalaženju apsolutnih ekstrema #2,9#, Apsolutni ekstremi pojavljuju se na krajnjim točkama domene ili na lokalnim ekstremima, odnosno na točkama u kojima funkcija mijenja smjer. Lokalni ekstremi javljaju se na kritičnim točkama, koje su točke u domeni gdje je izvedenica jednaka #0# ili ne postoji. Dakle, moramo pronaći derivat. Upotrebom pravila kvocijenta:

#F "(x) = ((3 x ^ 2-1) + (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) + 6x) / (3 x ^ 2-1) ^ 2 #

#F "(x) = ((3 x ^ 2-1) + 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3 x ^ 2-1) ^ 2 #

#F "(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3 x ^ 2-1) ^ 2 #

#F "(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3 x ^ 2-1) ^ 2 #

Ako uzmemo u obzir # -3x ^ (- 2/3) # izvan brojnika imamo:

#F "(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3 x ^ 2-1) #

Nema vrijednosti #x# na #2,9# gdje #F "(x) * ne postoji. Također nema vrijednosti na #2,9# gdje #F "(x) = 0 #, Dakle, ne postoje kritične točke na danoj domeni.

Pomoću "testa kandidata" nalazimo vrijednosti #F (x) * na krajnjim točkama. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Brza provjera na našim kalkulatorima pokazuje da:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (apsolutni maksimum)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (apsolutni minimum)

Koji su apsolutni ekstremi f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 u [0,3]?

Na [0,3] maksimum je 19 (pri x = 3), a minimum je -1 (pri x = 1). Da bismo pronašli apsolutne ekstreme jedne (kontinuirane) funkcije na zatvorenom intervalu, znamo da se ekstremi moraju pojaviti na oba crticna broja u intervalu ili na krajnjim točkama intervala. f (x) = x ^ 3-3x + 1 ima derivaciju f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 nikada nije definirano i 3x ^ 2-3 = 0 pri x = + - 1. Budući da -1 nije u intervalu [0,3], odbacujemo ga. Jedini kritični broj koji treba uzeti u obzir je 1. f (0) = 1 f (1) = -1 i f (3) = 19. Dakle, maksimum je 19 (pri x = 3), a minimum je -1 ( x = 1).

Koji su apsolutni ekstremi f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) u [1,4]?

Nema globalnih maksimuma. Globalni minimumi su -3 i javljaju se pri x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, gdje je x f 1 f '(x) = 2x - 6 Apsolutni ekstremi nastaju na krajnjoj točki ili na kritični broj. Krajnje točke: 1 & 4: x = 1 f (1): "undefined" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Kritična točka (e): f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 Kod x = 3 f (3) = -3 Nema globalnih maksimuma. Ne postoji globalni minimum -3 i javlja se pri x = 3.

Koji su apsolutni ekstremi f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) u [oo, oo]?

X = 0 je maksimum funkcije. f (x) = 1 / (1 + x²) Pretražimo f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Vidimo da postoji jedinstveno rješenje, f ' (0) = 0 I također da je ovo rješenje maksimum funkcije, jer lim_ (x do ± oo) f (x) = 0, i f (0) = 1 0 / ovdje je naš odgovor!