Kako dokazati arcsin x + arccos x = pi / 2?

Odgovor:

kao što je prikazano

Obrazloženje:

pustiti

# Arcsinx = theta #

zatim

# X = sintheta-cos (pi / 2-theta) #

# => Arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => Arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => Arcsinx + arccosx-pi / 2 #

Odgovor:

Tvrdnja je istinita kada se inverzne trigonometrijske funkcije odnose na glavne vrijednosti, ali za to je potrebno posvetiti više pozornosti nego što to drugi odgovor daje.

Kada se inverzne trigonometrijske funkcije smatraju višestrukim, dobivamo nijansiraniji rezultat, na primjer

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # ali #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Moramo oduzeti da dobijemo # Pi / 2 #.

Obrazloženje:

Ovaj je teži nego što izgleda. Drugi odgovor ne plaća mu pravo poštovanje.

Opća konvencija je korištenje malog slova #arccos (x) * i #arcsin (x) * kao višestruki izrazi, svaki od njih označava sve vrijednosti čiji kosinus ili sinus ima zadanu vrijednost #x#.

Smisao zbroja tih zbilja uistinu je svaka moguća kombinacija, a oni ne bi uvijek dali # Pi / 2 # Oni čak neće uvijek dati jedan od korterminalnih kutova # pi / 2 + 2pi k quad # broj # K #, kao što ćemo sada pokazati.

Pogledajmo kako radi prvo s višestrukim inverznim trigonometrijskim funkcijama. Zapamtite općenito cos x = cos a # ima rješenja # x = pm a + 2pi k quad # broj # K #.

# c = arccos x # zapravo znači

#x = cos c #

#s = arcsin x # zapravo znači

#x = sin s #

#y = s + c #

#x# igra ulogu stvarnog parametra od kojeg se vrti #-1# do #1#, Želimo riješiti # Y #, pronaći sve moguće vrijednosti # Y # koji imaju #x, s # i # C # što čini ove simultane jednadžbe #x = cos c, x = sin s, y = s + c # pravi.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Mi koristimo gore navedeno opće rješenje o jednakosti kosinusa.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # broj # K #

# s c = pi / 2 - 2pi k #

Tako dobivamo mnogo nejasniji rezultat, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Dopušteno je uključiti znak # K. #)

Usredotočimo se sada na glavne vrijednosti koje pišem velikim slovima:

Pokazati #text {Arc} tekst {sin} (x) + tekst {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 #

Izjava je doista istinita za glavne vrijednosti definirane na uobičajeni način.

Suma je samo definirana (dok ne postanemo prilično duboko u kompleksnim brojevima) za # -1 le x le 1 # jer su valjani sinusi i kosinusi u tom rasponu.

Pogledat ćemo svaku stranu ekvivalenta

# text {Arc} tekst {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) #

Uzet ćemo kosinus s obje strane.

#cos (tekst {Arc} tekst {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x)) = sin (tekst {Arc} tekst {sin} (x)) = x #

Dakle, bez brige o znakovima ili glavnim vrijednostima, sigurni smo

#cos (tekst {Arc} tekst {cos} (x)) = cos (pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x)) #

Zanosan dio, dio koji zaslužuje poštovanje, sljedeći je korak:

#text {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) quad # NISAM SIGURAN JOS

Moramo pažljivo hodati. Uzmimo pozitivno i negativno #x# odvojeno.

Prvi # 0 le x le 1 #, To znači da su glavne vrijednosti obje inverzne trigonometrije u prvom kvadrantu, između #0# i # Pi / 2 # Ograničeni na prvi kvadrant, jednaki kosinusi podrazumijevaju jednake kutove pa zaključujemo za #x ge 0, #

#text {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) quad #

Sada # -1 le x <0. # Glavna vrijednost obrnutog znaka je u četvrtom kvadrantu i za #x <0 # obično definiramo glavnu vrijednost u rasponu

# - pi / 2 le text {Arc} tekst {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - tekst {Arc} tekst {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) le pi #

Glavna vrijednost za negativni inverzni kosinus je drugi kvadrant, # pi / 2 <tekst {Arc} tekst {cos} (x) le pi #

Dakle, u drugom kvadrantu imamo dva kuta čiji su kosinusi jednaki i možemo zaključiti da su kutovi jednaki. Za #x <0 #, #text {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) quad #

U svakom slučaju, # text {Arc} tekst {sin} (x) + tekst {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #