Što je jednadžba linije tangente na f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x na x = sqrtpi?

Odgovor:

Jednadžba je približno:

#y = 3.34x - 0.27 #

Obrazloženje:

Za početak, moramo odrediti #F "(x) *, tako da znamo što je nagib #F (x) * je u bilo kojem trenutku, #x#.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

koristeći pravilo proizvoda:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

To su standardni derivati:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Tako naš derivat postaje:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Umetanje danog #x# vrijednost, nagib na #sqrt (pi) # je:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) #

Ovo je nagib naše linije na mjestu # x = sqrt (pi) #, Tada možemo odrediti presječak y postavljanjem:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

To nam daje ne-pojednostavljenu jednadžbu za našu liniju:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))))) x + b #

Rješavajući za b, završavamo s dosadnom kompliciranom formulom:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Tako da naša linija završava:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (sqrt (pi)) pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Ako zapravo izračunamo što ovi dosadni veliki koeficijenti odgovaraju, završavamo s približnom linijom:

#y = 3.34x - 0.27 #